Логарифмические выражения, решение примеров. В этой статье мы рассмотрим задачи связанные с решением логарифмов. В заданиях ставится вопрос о нахождении значения выражения. Нужно отметить, что понятие логарифма используется во многих заданиях и понимать его смысл крайне важно. Что касается ЕГЭ, то логарифм используется при решении уравнений, в прикладных задачах, также в заданиях связанных с исследованием функций.
Приведём примеры для понимания самого смысла логарифма:
Основное логарифмическое тождество:
Свойства логарифмов, которые необходимо всегда помнить:
*Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
* * *
*Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.
* * *
*Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.
* * *
*Переход к новому основанию
* * *
Ещё свойства:
* * *
Вычисление логарифмов тесно связано с использованием свойств показателей степени.
Перечислим некоторые из них:
Суть данного свойства заключается в том, что при переносе числителя в знаменатель и наоборот, знак показателя степени меняется на противоположный. Например:
Следствие из данного свойства:
* * *
При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели перемножаются.
* * *
Как вы убедились само понятие логарифма несложное. Главное то, что необходима хорошая практика, которая даёт определённый навык. Разумеется знание формул обязательно. Если навык в преобразовании элементарных логарифмов не сформирован, то при решении простых заданий можно легко допустить ошибку.
Практикуйтесь, решайте сначала простейшие примеры из курса математики, затем переходите к более сложным. В будущем обязательно покажу, как решаются «страшненькие» логарифмы, таких на ЕГЭ не будет, но они представляют интерес, не пропустите!
На этом всё! Успеха Вам!
С уважением, Александр Крутицких
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
(от греческого λόγος - «слово», «отношение» и ἀριθμός - «число») числа b по основанию a (log α b ) называется такое число c , и b = a c , то есть записи log α b =c и b=a c эквивалентны. Логарифм имеет смысл, если a > 0, а ≠ 1, b > 0.
Говоря другими словами логарифм числа b по основанию а формулируется как показатель степени , в которую надо возвести число a , чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).
Из данной формулировки вытекает, что вычисление x= log α b , равнозначно решению уравнения a x =b.
Например:
log 2 8 = 3 потому, что 8=2 3 .
Выделим, что указанная формулировка логарифма дает возможность сразу определить значение логарифма , когда число под знаком логарифма выступает некоторой степенью основания. И в правду, формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с , то логарифм числа b по основанию a равен с . Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа .
Вычисление логарифма именуют логарифмированием . Логарифмирование - это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей трансформируется в суммы членов.
Потенцирование - это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов трансформируются в произведение сомножителей.
Достаточно часто используются вещественные логарифмы с основаниями 2 (двоичный), е число Эйлера e ≈ 2,718 (натуральный логарифм) и 10 (десятичный).
На данном этапе целесообразно рассмотреть образцы логарифмов log 7 2, ln√ 5, lg0.0001.
А записи lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма помещено отрицательное число , во второй - отрицательное число в основании, а в третьей - и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.
Условия определения логарифма.
Стоит отдельно рассмотреть условия a > 0, a ≠ 1, b > 0.при которых дается определение логарифма . Рассмотрим, почему взяты эти ограничения. В это нам поможет равенство вида x = log α b , называемое основным логарифмическим тождеством , которое напрямую следует из данного выше определения логарифма.
Возьмем условие a≠1 . Поскольку единица в любой степени равна единице, то равенство x=log α b может существовать лишь при b=1 , но при этом log 1 1 будет любым действительным числом . Для исключения этой неоднозначности и берется a≠1 .
Докажем необходимость условия a>0 . При a=0 по формулировке логарифма может существовать только при b=0 . И соответственно тогда log 0 0 может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Исключить эту неоднозначность дает условие a≠0 . А при a<0 нам бы пришлось отвергнуть разбор рациональных и иррациональных значений логарифма, поскольку степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Именно по этой причине и оговорено условие a>0 .
И последнее условие b>0 вытекает из неравенства a>0 , поскольку x=log α b , а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.
Особенности логарифмов.
Логарифмы характеризуются отличительными особенностями , которые обусловили их повсеместное употребление для значительного облегчения кропотливых расчетов. При переходе «в мир логарифмов» умножение трансформируется на значительно более легкое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня трансформируются соответствующе в умножение и деление на показатель степени.
Формулировку логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые издал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, увеличенные и детализированные прочими учеными, широко использовались при выполнении научных и инженерных вычислений, и оставались актуальными пока не стали применяться электронные калькуляторы и компьютеры.
Логарифм с основанием a - это функция y(x) = log a x , обратная к показательной функции с основанием a: x(y) = a y .
Десятичный логарифм - это логарифм по основанию числа 10 : lg x ≡ log 10 x .
Натуральный логарифм - это логарифм по основанию числа e : ln x ≡ log e x .
2,718281828459045...
;
.
График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x . Слева изображены графики функции y(x) = log a x для четырех значений основания логарифма : a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При 0 < a < 1 логарифм монотонно убывает.
Свойства логарифма
Область определения, множество значений, возрастание, убывание
Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.
| Область определения | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Область значений | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Монотонность | монотонно возрастает | монотонно убывает |
| Нули, y = 0 | x = 1 | x = 1 |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | нет | нет |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Частные значения
Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом
и обозначается так:
Логарифм по основанию e
называется натуральным логарифмом
:
Основные формулы логарифмов
Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:
Основное свойство логарифмов и его следствия
Формула замены основания
Логарифмирование - это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.
Потенцирование - это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.
Доказательство основных формул логарифмов
Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.
Рассмотрим свойство показательной функции
.
Тогда
.
Применим свойство показательной функции
:
.
Докажем формулу замены основания.
;
.
Полагая c = b
,
имеем:
Обратная функция
Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a .
Если , то
Если , то
Производная логарифма
Производная логарифма от модуля x
:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e
.
;
.
Интеграл
Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям : .
Итак,
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексного числа z
:
.
Выразим комплексное число z
через модуль r
и аргумент φ
:
.
Тогда, используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
Однако, аргумент φ
определен не однозначно. Если положить
, где n
- целое,
то будет одним и тем же числом при различных n
.
Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.
Разложение в степенной ряд
При имеет место разложение:
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
В соотношении
может быть поставлена задача отыскания любого из трех чисел по двум другим, заданным. Если даны а и то N находят действием возведения в степень. Если даны N и то а находят извлечением корня степени х (или возведением в степень ). Теперь рассмотрим случай, когда по заданным а и N требуется найти х.
Пусть число N положительно: число а положительно и не равно единице: .
Определение. Логарифмом числа N по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить число N; логарифм обозначается через
Таким образом, в равенстве (26.1) показатель степени находят как логарифм N по основанию а. Записи
имеют одинаковый смысл. Равенство (26.1) иногда называют основным тождеством теории логарифмов; в действительности оно выражает определение понятия логарифма. По данному определению основание логарифма а всегда положительно и отлично от единицы; логарифмируемое число N положительно. Отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют. Можно доказать, что всякое число при данном основании имеет вполне определенный логарифм. Поэтому равенство влечет за собой . Заметим, что здесь существенно условие в противном случае вывод был бы не обоснован, так как равенство верно при любых значениях х и у.
Пример 1. Найти
Решение. Для получения числа следует возвести основание 2 в степень Поэтому.
Можно проводить записи при решении таких примеров в следующей форме:
Пример 2. Найти .
Решение. Имеем
В примерах 1 и 2 мы легко находили искомый логарифм, представляя логарифмируемое число как степень основания с рациональным показателем. В общем случае, например для и т. д., этого сделать не удастся, так как логарифм имеет иррациональное значение. Обратим внимание на один связанный с этим утверждением вопрос. В п. 12 мы дали понятие о возможности определения любой действительной степени данного положительного числа. Это было необходимо для введения логарифмов, которые, вообще говоря, могут быть иррациональными числами.
Рассмотрим некоторые свойства логарифмов.
Свойство 1. Если число и основание равны, то логарифм равен единице, и, обратно, если логарифм равен единице, то число и основание равны.
Доказательство. Пусть По определению логарифма имеем а откуда
Обратно, пусть Тогда по определению
Свойство 2. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.
Доказательство. По определению логарифма (нулевая степень любого положительного основания равна единице, см. (10.1)). Отсюда
что и требовалось доказать.
Верно и обратное утверждение: если , то N = 1. Действительно, имеем .
Прежде чем сформулировать следующее свойство логарифмов, условимся говорить, что два числа а и b лежат по одну сторону от третьего числа с, если они оба либо больше с, либо меньше с. Если одно из этих чисел больше с, а другое меньше с, то будем говорить, что они лежат по разные стороны от с.
Свойство 3. Если число и основание лежат по одну сторону от единицы, то логарифм положителен; если число и основание лежат по разные стороны от единицы, то логарифм отрицателен.
Доказательство свойства 3 основано на том, что степень а больше единицы, если основание больше единицы и показатель положителен или основание меньше единицы и показатель отрицателен. Степень меньше единицы, если основание больше единицы и показатель отрицателен или основание меньше единицы и показатель положителен.
Требуется рассмотреть четыре случая:
Ограничимся разбором первого из них, остальные читатель рассмотрит самостоятельно.
Пусть тогда в равенстве показатель степени не может быть ни отрицательным, ни равным нулю, следовательно, он положителен, т. е. что и требовалось доказать.
Пример 3. Выяснить, какие из указанных ниже логарифмов положительны, какие отрицательны:
Решение, а) так как число 15 и основание 12 расположены по одну сторону от единицы;
б) , так как 1000 и 2 расположены по одну сторону от единицы; при этом несущественно, что основание больше логарифмируемого числа;
в) , так как 3,1 и 0,8 лежат по разные стороны от единицы;
г) ; почему?
д) ; почему?
Следующие свойства 4-6 часто называют правилами логарифмирования: они позволяют, зная логарифмы некоторых чисел, найти логарифмы их произведения, частного, степени каждого из них.
Свойство 4 (правило логарифмирования произведения). Логарифм произведения нескольких положительных чисел по данному основанию равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию.
Доказательство. Пусть даны положительные числа .
Для логарифма их произведения напишем определяющее логарифм равенство (26.1):
Отсюда найдем
Сравнив показатели степени первого и последнего выражений, получим требуемое равенство:
Заметим, что условие существенно; логарифм произведения двух отрицательных чисел имеет смысл, но в этом случае получим
В общем случае, если произведение нескольких сомножителей положительно, то его логарифм равен сумме логарифмов модулей этих сомножителей.
Свойство 5 (правило логарифмирования частного). Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя, взятых по тому же основанию. Доказательство. Последовательно находим
что и требовалось доказать.
Свойство 6 (правило логарифмирования степени). Логарифм степени какого-либо положительного числа равен логарифму этого числа, умноженному на показатель степени.
Доказательство. Запишем снова основное тождество (26.1) для числа :
что и требовалось доказать.
Следствие. Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного числа, деленному на показатель корня:
Доказать справедливость этого следствия можно, представив как и воспользовавшись свойством 6.
Пример 4. Прологарифмировать по основанию а:
а) (предполагается, что все величины b, с, d, е положительны);
б) (преполагается, что ).
Решение, а) Удобно перейти в данном выражении к дробным степеням:
На основании равенств (26.5)-(26.7) теперь можно записать:
Мы замечаем, что над логарифмами чисел производятся действия более простые, чем над самими числами: при умножении чисел их логарифмы складываются, при делении - вычитаются и т.д.
Именно поэтому логарифмы получили применение в вычислительной практике (см. п. 29).
Действие, обратное логарифмированию, называется потенцированием, а именно: потенцированием называется действие, с помощью которого по данному логарифму числа находится само это число. По существу потенцирование не является каким-либо особым действием: оно сводится к возведению основания в степень (равную логарифму числа). Термин «потенцирование» можно считать синонимом термина «возведенение в степень».
При потенцировании надо пользоваться правилами, обратными по отношению к правилам логарифмирования: сумму логарифмов заменить логарифмом произведения, разность логарифмов - логарифмом частного и т. д. В частности, если перед знаком логарифма находится какой-либо множитель, то его при потенцировании нужно переносить в показатель степени под знак логарифма.
Пример 5. Найти N, если известно, что
Решение. В связи с только что высказанным правилом потенцирования множители 2/3 и 1/3, стоящие перед знаками логарифмов в правой части данного равенства, перенесем в показатели степени под знаками этих логарифмов; получим
Теперь разность логарифмов заменим логарифмом частного:
для получения последней дроби в этой цепочке равенств мы предыдущую дробь освободили от иррациональности в знаменателе (п. 25).
Свойство 7. Если основание больше единицы, то большее число имеет больший логарифм (а меньшее - меньший), если основание меньше единицы, то большее число имеет меньший логарифм {а меньшее - больший).
Это свойство формулируют также и как правило логарифмирования неравенств, обе части которых положительны:
При логарифмировании неравенств по основанию, большему единицы, знак неравенства сохраняется, а при логарифмировании по основанию, меньшему единицы, знак неравенства меняется на противоположный (см. также п. 80).
Доказательство основано на свойствах 5 и 3. Рассмотрим случай, когда Если , то и, логарифмируя, получим
(а и N/М лежат по одну сторону от единицы). Отсюда
Случай а следует , читатель разберет самостоятельно.
Определение логарифма
Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b .
Числом е в математике принято обозначать предел, к которому стремиться выражение
Число е является иррациональным числом - числом, несоизмеримым с единицей, оно не может быть точно выраженным ни целым ни дробным рациональным числом.
Буква е - первая буква латинского слова exponere - выставлять напоказ, отсюда в математике название экспоненциальная - показательная функция.
Число е широко применяется в математике, и во всех науках, так или иначе применяющих для своих нужд математические расчеты.
Логарифмы. Свойства логарифмов
Определение: Логарифмом положительного числа b по основанию называется показатель степени с, в которую надо возвести число а, чтобы получить число b.
Основное логарифмическое тождество:
7) Формула перехода к новому основанию:
lna = log e a, e ≈ 2,718…
Задачи и тесты по теме «Логарифмы. Свойства логарифмов»
- Логарифмы — Важные темы для повторения ЕГЭ по математике
Для успешного выполнения заданий по данной теме Вы должны знать определение логарифма, свойства логарифмов, основное логарифмическое тождество, определения десятичного и натурального логарифмов. Основные типы задач по данной теме — это задачи на вычисление и преобразование логарифмических выражений. Рассмотрим их решение на следующих примерах.
Решение: Используя свойства логарифмов, получим
Решение: используя свойства степени, получим
1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25
Свойства логарифмов, формулировки и доказательства.
Логарифмы обладают рядом характерных свойств. В этой статье мы разберем основные свойства логарифмов . Здесь мы дадим их формулировки, запишем свойства логарифмов в виде формул, покажем примеры их применения, а также приведем доказательства свойств логарифмов.
Навигация по странице.
Основные свойства логарифмов, формулы
Для удобства запоминания и использования представим основные свойства логарифмов в виде списка формул. В следующем пункте дадим их формулировки, доказательства, примеры использования и необходимые пояснения.
и свойство логарифма произведения n положительных чисел: log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n , a>0 , a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, x n >0 .
, где a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 .
, где a>0 , a≠1 , n – натуральное число, большее единицы, b>0 .
, a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .
, a>0 , a≠1 , b>0 , p и q – действительные числа, q≠0 , в частности при b=a имеем 
.Формулировки и доказательства свойств
Переходим к формулированию и доказательству записанных свойств логарифмов. Все свойства логарифмов доказываются на основе определения логарифма и вытекающего из него основного логарифмического тождества, а также свойств степени.
Начнем со свойства логарифма единицы . Его формулировка такова: логарифм единицы равен нулю, то есть, log a 1=0 для любого a>0 , a≠1 . Доказательство не вызывает сложностей: так как a 0 =1 для любого a , удовлетворяющего указанным выше условиям a>0 и a≠1 , то доказываемое равенство log a 1=0 сразу следует из определения логарифма.
Приведем примеры применения рассмотренного свойства: log 3 1=0 , lg1=0 и .
Переходим к следующему свойству: логарифм числа, равного основанию, равен единице , то есть, log a a=1 при a>0 , a≠1 . Действительно, так как a 1 =a для любого a , то по определению логарифма log a a=1 .
Примерами использования этого свойства логарифмов являются равенства log 5 5=1 , log 5,6 5,6 и lne=1 .
Логарифм степени числа, равного основанию логарифма, равен показателю степени . Этому свойству логарифма отвечает формула вида log a a p =p , где a>0 , a≠1 и p – любое действительное число. Это свойство напрямую следует из определения логарифма. Заметим, что оно позволяет сразу указать значение логарифма, если есть возможность представить число под знаком логарифма в виде степени основания, подробнее об этом мы поговорим в статье вычисление логарифмов.
К примеру, log 2 2 7 =7 , lg10 -4 =-4 и 
.
Логарифм произведения двух положительных чисел x и y равен произведению логарифмов этих чисел: log a (x·y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 . Докажем свойство логарифма произведения. В силу свойств степени a log a x+log a y =a log a x ·a log a y , а так как по основному логарифмическому тождеству a log a x =x и a log a y =y , то a log a x ·a log a y =x·y . Таким образом, a log a x+log a y =x·y , откуда по определению логарифма вытекает доказываемое равенство.
Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: log 5 (2·3)=log 5 2+log 5 3 и 
.
Свойство логарифма произведения можно обобщить на произведение конечного числа n положительных чисел x 1 , x 2 , …, x n как log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Данное равенство без проблем доказывается методом математической индукции.
Например, натуральных логарифм произведения можно заменить суммой трех натуральных логарифмов чисел 4 , e , и .
Логарифм частного двух положительных чисел
x и y равен разности логарифмов этих чисел. Свойству логарифма частного соответствует формула вида , где a>0 , a≠1 , x и y – некоторые положительные числа. Справедливость этой формулы доказывается как и формула логарифма произведения: так как 
, то по определению логарифма .
Приведем пример использования этого свойства логарифма: 
.
Переходим к свойству логарифма степени . Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: log a b p =p·log a |b| , где a>0 , a≠1 , b и p такие числа, что степень b p имеет смысл и b p >0 .
Сначала докажем это свойство для положительных b . Основное логарифмическое тождество позволяет нам представить число b как a log a b , тогда b p =(a log a b) p , а полученное выражение в силу свойство степени равно a p·log a b . Так мы приходим к равенству b p =a p·log a b , из которого по определению логарифма заключаем, что log a b p =p·log a b .
Осталось доказать это свойство для отрицательных b . Здесь замечаем, что выражение log a b p при отрицательных b имеет смысл лишь при четных показателях степени p (так как значение степени b p должно быть больше нуля, в противном случае логарифм не будет иметь смысла), а в этом случае b p =|b| p . Тогда b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , откуда log a b p =p·log a |b| .
Например, 
и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня : логарифм корня n -ой степени равен произведению дроби 1/n на логарифм подкоренного выражения, то есть, , где a>0 , a≠1 , n – натуральное число, большее единицы, b>0 .
Доказательство базируется на равенстве (смотрите определение степени с дробным показателем), которое справедливо для любых положительных b , и свойстве логарифма степени: 
.
Вот пример использования этого свойства: 
.
Теперь докажем формулу перехода к новому основанию логарифма
вида 
. Для этого достаточно доказать справедливость равенства log c b=log a b·log c a . Основное логарифмическое тождество позволяет нам число b представить как a log a b , тогда log c b=log c a log a b . Осталось воспользоваться свойством логарифма степени: log c a log a b =log a b·log c a . Так доказано равенство log c b=log a b·log c a , а значит, доказана и формула перехода к новому основанию логарифма .
Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов: и 
.
Формула перехода к новому основанию позволяет переходить к работе с логарифмами, имеющими «удобное» основание. Например, с ее помощью можно перейти к натуральным или десятичным логарифмам, чтобы можно было вычислить значение логарифма по таблице логарифмов. Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в некоторых случаях находить значение данного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями.
Часто используется частный случай формулы перехода к новому основанию логарифма при c=b вида . Отсюда видно, что log a b и log b a – взаимно обратные числа. К примеру, 
.
Также часто используется формула , которая удобна при нахождении значений логарифмов. Для подтверждения своих слов покажем, как с ее помощью вычисляется значение логарифма вида . Имеем 
. Для доказательства формулы достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма a: 
.
Осталось доказать свойства сравнения логарифмов.
Воспользуемся методом от противного. Предположим, что при a 1 >1 , a 2 >1 и a 1 2 и при 0 1 справедливо log a 1 b≤log a 2 b . По свойствам логарифмов эти неравенства можно переписать как 
и 
соответственно, а из них следует, что log b a 1 ≤log b a 2 и log b a 1 ≥log b a 2 соответственно. Тогда по свойствам степеней с одинаковыми основаниями должны выполняться равенства b log b a 1 ≥b log b a 2 и b log b a 1 ≥b log b a 2 , то есть, a 1 ≥a 2 . Так мы пришли к противоречию условию a 1 2 . На этом доказательство завершено.
Основные свойства логарифмов
- Материалы к уроку
- Скачать все формулы
- log a x n = n · log a x ;
Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы - это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами .
Эти правила обязательно надо знать - без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного - все можно выучить за один день. Итак, приступим.
Сложение и вычитание логарифмов
Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log a x и log a y . Тогда их можно складывать и вычитать, причем:
Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность - логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь - одинаковые основания . Если основания разные, эти правила не работают!
Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры - и убедитесь:
Задача. Найдите значение выражения: log 6 4 + log 6 9.
Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.
Задача. Найдите значение выражения: log 2 48 − log 2 3.
Основания одинаковые, используем формулу разности:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Задача. Найдите значение выражения: log 3 135 − log 3 5.
Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные - подобные выражения на полном серьезе (иногда - практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.
Вынесение показателя степени из логарифма
Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:
Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить - в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.
Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.
Задача. Найдите значение выражения: log 7 49 6 .
Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12
Задача. Найдите значение выражения:
[Подпись к рисунку]
Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Имеем:
[Подпись к рисунку]
Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели - получили «трехэтажную» дробь.
Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log 2 7. Поскольку log 2 7 ≠ 0, можем сократить дробь - в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.
Переход к новому основанию
Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?
На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:
Пусть дан логарифм log a x . Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:
[Подпись к рисунку]
В частности, если положить c = x , получим:
[Подпись к рисунку]
Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.
Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:
Задача. Найдите значение выражения: log 5 16 · log 2 25.
Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
А теперь «перевернем» второй логарифм:
[Подпись к рисунку]
Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.
Задача. Найдите значение выражения: log 9 100 · lg 3.
Основание и аргумент первого логарифма - точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:
[Подпись к рисунку]
Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:
[Подпись к рисунку]
Основное логарифмическое тождество
Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:
- n = log a a n
-
В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.
Вторая формула - это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество.
В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a ? Правильно: получится это самое число a . Внимательно прочитайте этот абзац еще раз - многие на нем «зависают».
Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.
[Подпись к рисунку]
Заметим, что log 25 64 = log 5 8 - просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:
[Подпись к рисунку]
Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂
Логарифмическая единица и логарифмический ноль
В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами - скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.
- log a a = 1 - это логарифмическая единица. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
- log a 1 = 0 - это логарифмический ноль. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица - логарифм равен нулю! Потому что a 0 = 1 - это прямое следствие из определения.
Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее - и решайте задачи.
Логарифм. Свойства логарифма (сложение и вычитание).
Свойства логарифма вытекают из его определения. И так логарифм числа b по основанию а определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a , чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).
Из данной формулировки следует, что вычисление x=log a b , равнозначно решению уравнения a x =b. Например, log 2 8 = 3 потому, что 8 = 2 3 . Формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с , то логарифм числа b по основанию a равен с . Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа.
С логарифмами, как и с любыми числами, можно выполнять операции сложения, вычитания и всячески трансформировать. Но ввиду того, что логарифмы — это не совсем ординарные числа, здесь применимы свои особенные правила, которые называются основными свойствами .
Сложение и вычитание логарифмов.
Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: log a x и log a y . Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:
Как видим, сумма логарифмов равняется логарифму произведения, а разность логарифмов — логарифму частного. Причем это верно если числа а , х и у положительны и а ≠ 1.
Важно обращать внимание, что основным аспектом в данных формулах выступают одни и те же основания. Если основания отличаются друг от друга, эти правила не применимы!
Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями читаются не только с лева на право, но и на оборот. В результате мы имеем теоремы логарифма произведения и логарифма частного.
Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов; перефразируя данную теорему получим следующее, если числа а , x и у положительны и а ≠ 1 , то:
Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя. Говоря по другому, если числа а , х и у положительны и а ≠ 1 , то:
Применим вышеизложенные теоремы для решения примеров :
Если числа x и у отрицательны, то формула логарифма произведения становится бессмысленной. Так, запрещено писать:
так как выражения log 2 (-8) и log 2 (-4) вообще не определены (логарифмическая функция у = log 2 х определена лишь для положительных значений аргументах ).
Теорема произведения применима не только для двух, но и для неограниченного числа сомножителей. Это означает, что для всякого натурального k и любых положительных чисел x 1 , x 2 , . . . ,x n существует тождество:
Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что log a 1= 0, следовательно,
А значит имеет место равенство:
Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:
Логарифм. Свойства логарифмов
Логарифм. Свойства логарифмов
Рассмотрим равенство . Пусть нам известны значения и и мы хотим найти значение .
То есть мы ищем показатель степени, в которую нужно взвести чтобы получить .
Пусть
переменная может принимать любое действительное значение, тогда на переменные и накладываются такие ограничения: o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>Если нам известны значения и , и перед нами стоит задача найти неизвестное , то для этой цели вводится математическое действие, которое называется логарифмирование .
Чтобы найти значение , мы берем логарифм числа по основанию :
Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .
То есть основное логарифмическое тождество :
o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>
является по сути математической записью определения логарифма .
Математическая операция логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.
Перечислим основные свойства логарифмов :
(o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,
d>0″/>, 1″ title=»d1″/>
4.
5.
Следующая группа свойств позволяет представить показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде коэффициента перед знаком логарифма:
6.
7.
8.
9.
Следующая группа формул позволяет перейти от логарифма с данным основанием к логарифму с произвольным основанием, и называется формулами перехода к новому основанию :
10.
12. (следствие из свойства 11)
Следующие три свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы:
13.
14.
15.
Частные случаи:
— десятичный логарифм
— натуральный логарифм
При упрощении выражений, содержащих логарифмы применяется общий подход:
1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.
2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.
3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.
4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.
5. Применяем свойства логарифмов.
Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.
Пример 1.
Вычислить:
Упростим все показатели степеней: наша задача привести их к логарифмам, в основании которых стоит то же число, что и в основании степtни.
==(по свойству 7)=(по свойству 6) =
Подставим показатели, которые у нас получились в исходное выражение. Получим:
Ответ: 5,25
Пример 2. Вычислить:
Приведем все логарифмы к основанию 6 (при этом логарифмы из знаменателя дроби «перекочуют» в числитель):
Разложим числа, стоящие под знаком логарифма на простые множители:
Применим свойства 4 и 6:
Введем замену
Получим:
Ответ: 1
Логарифм . Основное логарифмическое тождество.
Свойства логарифмов. Десятичный логарифм. Натуральный логарифм.
Логарифмом положительного числа N по основанию (b > 0, b 1) называется показатель степени x , в которую нужно возвести b , чтобы получить N .
Эта запись равнозначна следующей: b x = N .
П р и м е р ы: log 3 81 = 4 , так как 3 4 = 81 ;
log 1/3 27 = – 3 , так как (1/3) — 3 = 3 3 = 27 .
Вышеприведенное определение логарифма можно записать в виде тождества:
Основные свойства логарифмов.
2) log 1 = 0 , так как b 0 = 1 .
3) Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:
4) Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя:
5) Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания:
Следствием этого свойства является следующее: логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, делённому на степень корня:
6) Если в основании логарифма находится степень, то величину, обратную показателю степени, можно вынести за знак лога рифма:
Два последних свойства можно объединить в одно:
7) Формула модуля перехода (т. e . перехода от одного основания логарифма к другому основанию):
В частном случае при N = a имеем:
Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10. Он обозначается lg , т.е. log 10 N = lg N . Логарифмы чисел 10, 100, 1000, . p авны соответственно 1, 2, 3, …, т.е. имеют столько положительных
единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001, . p авны соответственно –1, –2, –3, …, т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей (считая и нуль целых). Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой . Целая часть логарифма называется характеристикой . Для практического при менения десятичные логарифмы наиболее удобны.
Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е . Он обозначается ln , т.е. log e N = ln N . Число е является иррациональным, его приближённое значение 2.718281828. Оно является пределом, к которому стремится число (1 + 1 / n ) n при неограниченном возрастании n (см. первый замечательный предел на странице «Пределы числовых последовательностей»).
Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию е осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию.
- Как получить свидетельство о государственной регистрации права собственности на квартиру? В соответствии с Конституцией РФ на государство возложена функция гаранта права частной собственности. Свои полномочия в этой сфере государство […] Штраф за несдачу отчетности СЗВ-М и РСВ-1 в ПФР По завершению каждого отчетного и расчетного периодов страхователь в обязательном порядке должен предоставить в Пенсионный фонд необходимый расчет по форме РСВ-1. Если по каким-либо причинам […]
- Когда и как получить накопительную часть пенсии в Сбербанке? Сбербанк является банком-партнером государственного пенсионного фонда. На основании этого граждане, оформившие накопительную пенсию, могли переводить в него накопительную часть […]
- Как получить субсидии на оплату коммунальных услуг (квартплату)? Субсидии на оплату коммунальных услуг предоставляются определенным категориям граждан в соответствии с жилищным законодательством РФ. Чтобы узнать подробности о процедуре […]
- Сведения бесплатно по ИНН или ОГРН из реестра налоговой по всей России - онлайн На Едином портале Налоговых услуг могут быть получены сведения о государственной регистрации юридических лиц, индивидуальных предпринимателей, […]
- Выгребная яма: санитарные и строительные нормы и правила Для обустройства канализации на дачном или городском участке нужно следовать не только строительным, но и законодательным стандартам. Выгребная яма: нормы и правила её обустройства […]