Пример построения модели CAPM приведен в статье:
Построение модели CAPM для российского фондового рынка.
Создадим новый рабочий лист в Excel и построим следующую таблицу. Используя поиск решений нам необходимо найти доли акций в новом инвестиционном портфеле. На рисунке, они помечены синей колонкой. Перед нами стоит прямая задача максимизации доходность инвестиционного портфеля с ограничением на риск. Максимальный риск установим на отметке 5%. Заполним дополнительные столбцы для расчета доходности и риска.
R*W= B2*G2 – произведение средней доходности и весов;
β*W=G2*C2 – произведение бета акции и веса;
(β*W)^2=I2*I2 – квадрат произведения;
σ^2*W^2=D2*D2*G2*G2 – произведение квадратов;
СУММА W =СУММ(G2:G6) –сумма весов портфеля.
Формула расчета целевой ячейки с доходностью портфеля (C9) будет следующая.
=СУММ(B2*G2;B3*G3;B4*G4;B5*G5;G6*B6)+F4*СУММ(C2*G2;C3*G3;C4*G4;C5*G5;C6*G6)
Формула расчета риска инвестиционного портфеля:
=КОРЕНЬ(J7*E4*E4+K7)
Для нахождения оптимальной структуры портфеля загрузим надстройку «Поиск решений». Выберем целевую функция – ячейку с доходностью (С9). Ее мы будем максимизировать. Для этого будем изменять доли акций в портфеле – диапазон ячеек C2:G6. Необходимо так же наложить ограничения на риск и веса акций. Веса должны быть положительны, сумма их должна не превышать единицы и риск рассчитанный в ячейке С10 должен быть меньше 5%.
В итоге мы получаем расчет долей акций в нашем инвестиционном портфеле. В итоге мы получили следующее соотношений весов акций в портфеле. Доля акций Аэрофлота (AFLT) составляет 37.7%, доля акций Якутэнерго (YKEN) составляет 40.5%, доля акций Сбербанка (SBER) 1.3%, доля акций Лукойла (LKOH) 0% и доля акций ГМКНорНикель (GMKN) 20.5%.
И так проведем качественное сравнение трех моделей формирования инвестиционного портфеля: модель Г.Марковица, модель У.Шарпа (CAPM) и модель «Квази - Шарпа».
Модель Марковица рационально использовать на стабильных рынках с повышающей доходностью, когда портфель формируется из акций, принадлежащих различным отраслям. Недостаток этой модели - это оценка доходности как среднеарифметическое доходностей за предыдущие периоды.
Модель У. Шарпа применяется для рассмотрения большого количества ценных бумаг, охватывающих большую часть фондового рынка. Недостаток этой модели – это необходимость прогнозирования доходности фондового рынка и безрисковую ставку доходности.
Модель «Квази- Шарпа » рационально использовать при рассмотрении небольшого числа ценных бумаг, принадлежащих одной или нескольким отраслям. С помощью этой модели хорошо поддерживать оптимальную структуру уже созданного инвестиционного портфеля. Недостатком этой модели можно считать не учет глобальных тенденций, которые влияют на доходность портфеля.
Модель «доходность-риск Марковица»
Любой портфель ценных бумаг следует оценивать как с точки зрения уровня доходности, так и степени риска. Большинство инвесторов при формировании портфеля ориентируются не только на получение более высокой нормы прибыли, но и стремятся снизить риск своих вложений, т. е. перед ними возникает проблема выбора состава портфеля. Традиционный подход состоит в том, чтобы диверсифицировать свои вложения. Если инвестор распределил свои вложения, например, на 10 равных частей для вложения в 10 различных акций, то подобная операция сама по себе уже будет означать снижение риска инвестиций. Однако такой подход является главным образом качественным, так как при этом обычно не производится точная количественная оценка всех ценных бумаг в портфеле, производится лишь качественный отбор ценных бумаг, не ставится задача достичь какой-то определенной величины ожидаемой нормы прибыли или степени риска портфеля. Однако если учесть, что в любой стране в обращении находятся десятки тысяч акций, то выбор инвестора огромен и визуального отбора становится явно недостаточно.
Современная теория портфеля, трактуя риск в количественных терминах и основываясь на и тщательном анализе и оценке индивидуальных ценных бумаг, дает количественную определенность целям портфеля и в зависимости от заданных параметров соотношения дохода и риска портфеля определяет состав портфеля.
Первой работой, в которой были изложены принципы формирования портфеля в зависимости от ожидаемой нормы прибыли и риска портфеля явилась работа Г. Марковица под названием «Выбор портфеля: эффективная диверсификация инвестиций».
Марковиц исходил из предположения, что большинство инвесторов стараются избегать риска, если это не компенсируется более высокой доходностью инвестиций. Для какой-либо заданной ожидаемой нормы прибыли большинство инвесторов будут предпочитать тот портфель, который обеспечит минимальное отклонение от ожидаемого значения. Таким образом, риск был определен Марковицем как неопределенность или способность ожидаемого результата к расхождению, измеряемого посредством стандартного отклонения. Это была первая попытка дать количественную оценку степени инвестиционного риска, учитываемого при формировании портфеля.
Предполагая, что инвесторы стараются избегать риска, Марковиц пришел к выводу, что инвесторы будут пытаться минимизировать стандартное отклонение доходности портфеля путем диверсификации ценных бумаг в портфеле. Но особенно важно то, что, как подчеркнул Марковиц, сочетание различных выпусков ценных бумаг в портфеле может незначительно снизить отклонение ожидаемой доходности, если эти ценные бумаги имеют высокую степень позитивной ковариации. Эффект от диверсификации достигается только в том случае, если портфель составлен из ценных бумаг, которые ведут себя не схожим образом. В этом случае стандартное отклонение доходности портфеля может быть значительно меньше, чем отклонение для индивидуальных ценных бумаг в портфеле.
Это положение легко объясняется на примере портфеля, состоящего из двух акций. Если акции ведут себя совершенно одинаково, то в этом случае комбинация ценных бумаг в портфеле не снижает риска портфеля. В то же время если две ценные бумаги имеют абсолютно негативную корреляцию, то риск портфеля может быть полностью исключен.
Для практического использования модели Марковица необходимо определить для каждой акции ожидаемую доходность, ее стандартное отклонение и ковариацию между акциями. Если имеется эта информация, то, как показал Марковиц, с помощью квадратичного программирования можно определить набор «эффективных портфелей», что иллюстрируется с помощью графика на рисунке 2.1.
Рисунок 2.1 - Кривая эффективных портфелей
Согласно трактовке Марковица, если имеется некий портфель А, то он является субоптимальным, так как портфель В мог бы обеспечить тот же самый уровень ожидаемой доходности с меньшей степенью риска, в то время как портфель С при той же степени риска мог бы обеспечить более высокую ожидаемую доходность. Таким образом, все эффективные портфели должны лежать на кривой EF, которая часто называется «эффективной границей Марковица».
Портфели, которые лежат в средней части кривой, обычно содержат много ценных бумаг, в то время как ближе к краям всего несколько. Точка F ассоциируется с тем, что все инвестиции вложены в акции одного вида, с максимальной ожидаемой доходностью. А точка Е соответствует тому положению, когда сочетание нескольких акций в портфеле обеспечивает наименьшую степень риска портфеля.
Итак, модель Марковица не дает возможности выбрать оптимальный портфель, а определяет набор эффективных портфелей. Каждый из этих портфелей обеспечивает наибольшую ожидаемую доходность для определенного уровня риска.
Конечно, использование современной вычислительной техники значительно облегчает использование модели Марковица на практике, и это как бы снимает препятствие для применения модели. Поэтому значительно большим недостатком является тот факт, что модель Марковица предлагает набор эффективных портфелей. Эти наборы могут быть такими многочисленными, что менеджерам пришлось бы какие-то акции покупать, какие-то продавать, что привело бы к большим издержкам. Даже если это осуществлять раз в квартал, все равно затраты будут значительными.
Модель Шарпа
Как было сказано выше, модель Марковица не дает возможности выбрать оптимальный портфель, а определяет набор эффективных портфелей. Главным недостатком модели Марковица является то, что она требует очень большого количества информации. Гораздо меньше информации используется в модели У. Шарпа. Модель Шарпа можно считать упрощенной версией модели Марковица. Так же эту модель называют диагональной или моделью единичного индекса.
Согласно Шарпу, прибыль на каждую отдельную акцию строго корректирует с общим рыночным индексом, что значительно упрощает процедуру нахождения эффективного портфеля. Применение модели Шарпа требует значительно меньшего количества вычислений, поэтому она оказалась более пригодной для практического использования.
Анализируя поведение акций на рынке, Шарп пришел к выводу, что вовсе не обязательно определять ковариацию каждой акции друг с другом. Вполне достаточно установить, как каждая акция взаимодействует со всем рынком. И поскольку речь идет о ценных бумагах, то, следовательно, нужно взять в расчет весь объем рынка ценных бумаг. Однако нужно иметь ввиду, что количество ценных бумаг и прежде всего акций в любой стране достаточно велико. С ними осуществляется ежедневно громадное количество сделок, как на биржевом, так и внебиржевом рынке. Цены на акции постоянно изменяются, поэтому определить какие-либо показатели по всему объему рынка оказывается практически невозможным. В то же время установлено, что если мы выберем некоторое количество определенных ценных бумаг, то они смогут достаточно точно охарактеризовать движение всего рынка ценных бумаг. В качестве такого рыночного показателя можно использовать фондовые индексы.
Уравнение модели
Ожидаемую доходность актива можно определить не только с помощью уравнения SML, но также на основе так называемых индексных моделей. Их суть состоит в том, что изменение доходности и цены актива зависит от ряда показателей, характеризующих состояние рынка, или индексов.
Простая индексная модель предложена У. Шарпом в середине 60-х годов. Ее часто называют рыночной моделью. В модели Шарпа представлена зависимость между ожидаемой доходностью актива и ожидаемой доходностью рынка. Она предполагается линейной. Уравнение модели имеет следующий вид:
где: E(ri) - ожидаемая доходность актива;
Yi - доходность актива в отсутствии воздействия на него рыночных факторов;
βi - коэффициент бета актива;
Е(rm) - ожидаемая доходность рыночного портфеля;
εi - независимая случайная переменная (ошибка): она показывает специфический риск актива, который нельзя объяснить действием рыночных сил. Значение ее средней равно нулю. Она имеет постоянную дисперсию; ковариацию с доходностью рынка равную нулю; ковариацию с нерыночным компонентом доходности других активов равную нулю.
Уравнение (192) является уравнением регрессии. Если его применить к широко диверсифицированному портфелю, то значения случайных переменных (εi) в силу того, что они изменяются как в положительном, так и отрицательном направлении, гасят друг друга, и величина случайной переменной для портфеля в целом стремится к нулю. Поэтому для широко диверсифицированного портфеля специфическим риском можно пренебречь. Тогда модель Шарпа принимает следующий вид:
портфеля;
βp - бета портфеля;
ур - доходность портфеля в отсутствии воздействия на него рыночных факторов.
Графически модель Шарпа представлена на рис. 66 и 67. Она показывает зависимость между доходностью рынка (rт) и доходностью актива (ri) и представляет собой прямую линию. Ее называют линией характеристики. Независимой переменной выступает доходность рынка. Наклон линии характеристики определяется коэффициентом бета, а пересечение с осью ординат - значением показателя уi.
YI можно определить из формулы (193), взяв средние значения доходности рынка и актива за предыдущие периоды времени. 1
Средняя доходность рынка.
Определить уравнение рыночной модели.
модели имеет вид:
представлено на рис. 66. Точками показаны конкретные значения доходности i-го актива и рынка для различных моментов времени в прошлом.
На рис. 66 и рис. 67 представлен случай, когда бета положительна, и поэтому график рыночной модели направлен вправо вверх, т. е. при увеличении доходности рынка доходность актива будет повышаться, при понижении - падать. При отрицательном значении беты график направлен вправо вниз, что говорит о противоположном движении доходности рынка и актива. Более крутой наклон графика говорит о высоком значении беты и большем риске актива, менее крутой наклон - о меньшем значении беты и меньшем риске (см. рис. 68). При β = 1 доходность актива соответствует доходности рынка, за исключением случайной переменной, характеризующей специфический риск.
Если построить график модели для самого рыночного портфеля относительно рыночного портфеля, то значение у для него равно нулю, а беты +1. Графически данная модель представлена на рис. 67.
15. 3. 2. Коэффициент детерминации
Рыночную модель можно использовать для того, чтобы разделить весь риск актива на дивесифицируемый и недиверсифицируемый, Графически специфический и рыночный риски представлены на рис. 68. Согласно модели Шарпа дисперсия актива равна:
Для вычисления доли дисперсии актива, которая определяется рынком, используют коэффициент детерминации (R2). Он представляет собой отношение объясняемой рынком дисперсии актива к его общей дисперсии.
Подставив данное значение в формулу (196), получим результат, который говорит о том, что коэффициент детерминации - это квадрат коэффициента корреляции.
R2 = (Corri,m)2 (197)
R2 = (Corri,m)2 (197)
В последнем примере R-квадрат равен 0, 1699. Это означает, что изменение доходности рассматриваемого актива можно на 16, 99% объяснить изменением доходности рынка, а на 83, 01% - другими факторами. Чем ближе значение R-квадрат к единице, тем в большей степени движение рынка определяет изменение доходности актива. Обычное значение R-квадрат в западной экономике составляет порядка 0, 3, т. е. 30% изменения его доходности определяется рынком. R-квадрат для широко диверсифицированного портфеля может составлять 0, 9 и большую величину.
Модель У. Шарпа (концепция коэффициента β). Прогнозирование доходности финансовых инструментов невозможно без учета факторов риска. В первую очередь, рисков систематических. Риски измеряются с помощью методов теории вероятности в виде дисперсии (среднего квадратичного отклонения). К i – возможный доход, p i – вероятность.
Коэффициент вариации показывает риск, приходящийся на единицу доходности. . .
Среднерыночная доходность может быть измерена с помощью фондовых индексов. У. Шарп поставил задачу найти связь между колебаниями рынка и колебаниями конкретной акции. Все акции, котирующиеся на бирже, представляют рыночный портфель.
| К |
| δ |
Все точки внутри кривой – допустимые портфели . Точки на прямой – эффективные портфели – это портфели, которые обеспечивают либо максимальную доходность при допустимом риске, либо минимальные риски при заданной доходности.
Но для конкретного инвестора необходим портфель, который отвечает всем требованиям. Такое сочетание доходности и риска, которое устраивает конкретного инвестора представляет собой оптимальный портфель .
CML (capital market line) – линия рынка капитала, линейная комбинация между безрисковым активом и рыночным портфелем. Она показывает, какая связь существует между доходностью безрискового актива и доходностью рыночного портфеля. Точка пересечения линии рынка капитала с осью доходностью дает величину безрисковой ставки (R f).
CML показывает, что ожидаемая норма доходности любого эффективного портфеля равна безрисковой ставке «плюс» рисковая премия. Она иллюстрирует, что чем больше доходность, тем больше риск.
Эта доходность может быть рассчитана следующим образом: . − рыночное среднее квадратичное отклонение. − портфель средней квадратичного инвестора.
Шарп исследовал взаимосвязь доходности между колебаниями рынка и конкретного актива.
Финансовые аналитики занимаются прогнозированием среднерыночной доходности (фондовых индексов), а конкретному инвестору необходимо знать доходность конкретной акции.
Если построить регрессию через точки, то можно получить SML (share market line), и она будет выглядеть следующим образом: . Это и есть модель Шарпа (модель оценки капитальных активов – CAMP).
Эта модель позволяет оценить требуемую доходность по конкретной акции (цену привлечения капитала). Коэффициент β в данном случае – это тот самый коэффициент, которые показывает, как связаны колебания рынка и конкретной ценной бумаги. С точки зрения математики, .
Эти коэффициенты публикуются. Например, на сайте Damodaram.com. Например, на конец 2007 г. по Российским компаниям, β был следующим. По «голубым фишкам», β=1. Это означает, что акции этих компаний колеблются точно так же, как и фондовый рынок. Если β>1, то размах колебаний доходности акции больше, чем колебания рынка. Например, строительные компании, высокотехнологичные отрасли. Систематический риск для данных ценных бумаг больше среднерыночного (больше дисперсия). Если коэффициент β<1, это значит, что размах колебаний доходности конкретной акции меньше среднерыночного и, следовательно, систематический риск тоже меньше среднерыночного. Примером таких компаний являются компании пищевой промышленности.
− рисковая премия. − рыночная рисковая премия. Рассчитывается глобальная рисковая премия и страновые рисковые премии. В частности на Damodaran.com есть такие данные : глобальная рисковая премия = 3,7%, по Европе – 3,9%. По странам, самые низкие рисковые премии у Дании, 1,8%, Бельгия – 2,6%, Швейцария – 2,1%, США – 4,2%, Япония – 5,1%, Германия – 5,4%, Ирландия – 2,6%, Норвегия – 2%.
Страновые риски определяются в т.ч. еще и кредитным рейтингом.
Достоинства модели состоят в доступности исходных данных, простоте расчета и широком распространении. Недостатки: это однофакторная модель, она не учитывает влияния других факторов, существует большая погрешность при расчетах коэффициента β из-за расхождения во мнениях у разных аналитиков.
Недостатки модели CAPM преодолеваются с помощью некоторых поправок. Рассчитывается модифицированная модель CAPM – MCAPM. В ней учитываются такие факторы, как страновой риск, премия для небольших компаний, риск внедрения новой продукции или новых инвестиционных проектов.
Существуют другие модели многофакторные, например, трехфакторная модель: Фама-Фрейч . . β − чувствительность актива к рыночной доходности, с – чувствительность к размеру компании, d – чувствительность актива к коэффициенту Тобина. К HMB – рыночная премия за риск, K SMB – ожидаемая премия за размер.
Например , R f = 6,8%, β=0,9%, c=0,5, K SMB = 6,3, K HMB = 5%, d = 0,3. R m = 8%.
6,8+(8-6,8)*0,9+6,3*0,5+5*0,3= получаем ожидаемая доходность или требуемая доходность.
Преимущество модели в том, что она использует три фактора. Ее недостаток в том, что коэффициенты c и d нигде не публикуются и должны быть рассчитаны самими аналитиками.
Многофакторная модель . В ней помимо трех названных факторов учитываются и другие: ожидаемая инфляция, рост ВВП и другие экономические и политические факторы.
На практике модель CAPM является оптимальной.
Фондовый индекс - составной показатель изменения цен определённой группы ценных бумаг - «индексной корзины» . Как правило, абсолютные значения индексов не важны. Большее значение имеют изменения индекса с течением времени, поскольку они позволяют судить об общем направлении движения рынка, даже в тех случаях, когда цены акций внутри «индексной корзины» изменяются разнонаправлено. В зависимости от выборки показателей, фондовый индекс может отражать поведение какой-то группы ценных бумаг (или других активов) или рынка (сектора рынка) в целом. . Согласно данным агентства Dow Jones & Co. Inc. , на конец 2003 года в мире уже насчитывалось 2315 фондовых индексов. В конце названия фондовых индексов может стоять цифра, отображающая число акционерных компаний, на основании которых рассчитывается индекс: CAC 40 , Nikkei 225 , S&P 500.
Индекс РТС отражает текущую суммарную рыночную капитализацию (выраженную в долларах США) акций некоторого списка эмитентов в относительных единицах. За 100 принята суммарная капитализация этих эмитентов на 1 сентября 1995 года. Таким образом, к примеру, значение индекса, равное 2400 (середина 2008 года) означает, что за почти 13 лет рыночная капитализация (с пересчётом в доллары США) компаний из списка РТС выросла в 24 раза. Каждый рабочий день Индекс РТС рассчитывается в течение торговой сессии при каждом изменении цены инструмента, включённого в список для его расчёта. Первое значение индекса является значением открытия, последнее значение индекса - значением закрытия. Список акций для расчёта индексов пересматривается раз в три месяца. Существуют также индекс РТС-2 (акции «второго эшелона»), RTS Standard (15 «голубых фишек» выраженный в рублях), RTSVX (Индекс волатильности) и 7 отраслевых индексов.
Индекс ММВБ рассчитывается как отношение суммарной рыночной капитализации акций, включенных в базу расчета индекса, к суммарной рыночной капитализации этих акций на начальную дату, умноженное на значение индекса на начальную дату. При расчете рыночной капитализации учитывается цена и количество соответствующих акций, свободно обращающихся на организованном рынке ценных бумаг, которым соответствует доля акционерного капитала эмитента, выражаемая значением коэффициента free-float. Расчет индекса производится в режиме реального времени в рублях, таким образом, значение индекса пересчитывается при совершении каждой сделки на ФБ ММВБ с акциями, включенными в базу расчета индекса. В 2009 году для расчета индекса ежедневно используется более 450 тыс. сделок на сумму свыше 60 млрд руб. , а суммарная капитализация акций, включенных в базу расчета Индекса ММВБ, составляет более 10 трлн руб. , что соответствует 80 % совокупной капитализации эмитентов, акции которых торгуются на бирже. База расчета Индекса ММВБ пересматривается 2 раза в год (25 апреля и 25 октября) на основании ряда критериев, основными из которых являются капитализация акций, ликвидность акций, значение коэффициента free-float и отраслевая принадлежность эмитента акций.
Динамика индекса S&P
На рынках ценных бумаг для определения общей тенденции в изменении курсов акций применяются специальные индикаторы –фондовые индексы. Биржевой (фондовый) индекс является обобщенным показателем изменения цен определённой группы активов (ценных бумаг, товаров или производных финансовых инструментов). В зависимости от выборки показателей, биржевой индекс может отражать поведение какой-то группы активов (ценных бумаг) или рынка (сектора рынка) в целом. Для изучения характера взаимосвязи в изменении фондовых индексов и доходности ценных бумаг строятся рыночные модели, с помощью которых можно оценивать инвестиционные портфели предприятий.
C редневзвешенный капитальный доход по ценным бумагам Прирост фондового индекса за определенный — период это средневзвешенный капитальный, доход по ценным бумагам цены которых. использованы для расчета индекса Пусть m r — средневзвешенный капитальный, доход по группе ценных бумаг входящих в, I индекс 0 — , значение индекса на начало периода I 1 — . значение индекса на конец периода 0 01 I II K
Проблемы использования индекса, Основная проблема связанная с, — использованием индексов насколько точно, — индекс характеризует рыночный портфель, то есть абсолютно все финансовые активы, которые присутствуют на рынке при том что для расчета индекса используется только определенная выборка из всего (, множества ценных бумаг хотя по: некоторым индексам и достаточно большая, SP 500 так при расчете используют цены на 500). акции крупнейших компаний США
Еще несколько проблем. — , Первая доходность государственных ценных бумаг как, . — и любых других подвержена колебаниям Вторая в модели оценки капитальных активов ставка 0 — это еще и, ставка по безрисковым кредитам что еще более усложняет проблему выбора ее значения для. практических расчетов, Таким образом уже здесь необходимо прибегать к. , определенным упрощениям Практически в качестве, безрисковой ставки выбирают как правило ставку () доходности по краткосрочным от трех месяцев до года, (государственным обязательствам учетную ставку либо) , ставку рефинансирования центрального банка либо рассчитанную определенным образом средневзвешенную ставку по кредитам на (: межбанковском рынке наиболее известный пример LIBOR — London Interbank ffered Rate). ставка О
Однофакторная модель Шарпа Пусть за некоторый период времени изучается взаимосвязь между доходностью определенной ценной бумаги – mi и доходностью рынка () рыночным индексом -mr . в том же периоде Изменение рыночного индекса может вызывать соответствующее изменение цены i — ой ценной бумаги, причем такие изменения носят случайный характер и, взаимосвязаны и для их отражения используется рыночная модель в виде (уравнения регрессии характеристической линии ценной бумаги): m i = i + i m r + i
m i = i + i m r + i где m i и m r доходность ценной бумаги i и на рыночный индекс за период времени t ; i — коэффициент смещения линии регрессии, характеризует ожидаемую доходность i -ой ценной бумаги при условии нулевой доходности рыночного индекса; i — коэффициент наклона и является характеристикой риска; i — случайная погрешность.
Бета коэффициент- Бета-коэффициент оценивает изменения в доходности отдельных акций в сопоставлении с динамикой рыночного дохода: если >0, то доходность соответствующих ценных бумаг изменяется в том же направлении, что и рыночная доходность, при 1, 0 считаются агрессивными и более рискованными, чем рынок в целом; для менее рискованных бумаг <1, 0. индекс систематического риска вследствие общих условий рынка. i
По Шарпу Эффективность ценных бумаг удобно отсчитывать от эффективности безрискового вклада m f m i = m f + β i (m r – m f) + α i , m i — m f называется премией за риск. α = 0 – бумаги справедливо оцениваемые; α > 0 – бумаги рынком недооценены; α < 0 – бумаги рынком переоценены. Аналогичные утверждения имеют место и для портфелей.
Отличие линейной модели рынка и САРМ: 1) линейная модель рынка является однофакторной моделью, где в качестве фактора выступает рыночный индекс. В отличие от САРМ она не является равновесной моделью, описывающей процесс формирования курсов ценных бумаг. 2) рыночная модель использует рыночный индекс, (например, S&P 500), в то время как САРМ – рыночный портфель. Рыночный портфель сочетает в себе все обращающиеся на рынке бумаги, а рыночный индекс – только ограниченное их число (например, 500 для индекса S&P 500). Сравнение рыночной модели рынка и модели САРМ
Пример. 5. 1. По данным инвестиционной компании «ФИНАМ» о фактической доходности акций и доходности на индекс РТС (RTSI) за период с января 2008 по май 2009 гг. см. табл. 1, определить ожидаемую доходность, риск и параметры рыночных моделей (альфа и бета коэффициенты) для акций «Газпром» (GAZP), «Сбербанк» (SBER) и «Роснефть» (ROSN). По результатам расчета построить графики зависимостей доходности акций от доходности на индекс РТС.
Для акций GAZP Для акций SBER Для акций ROSN ВЫВОД ИТОГОВ Регрессионная статистика Множественный R 0, 894 Множественный R 0, 898 Множественный R 0, 903 R-квадрат 0, 799 R-квадрат 0, 806 R-квадрат 0, 816 Нормированный R-квадрат 0, 784 Нормированный R-квадрат 0, 792 Нормированный R-квадрат 0, 802 Стандартная ошибка 6, 540 Стандартная ошибка 11, 068 Стандартная ошибка 6, 677 Наблюдения 16 Коэффициенты для GAZP Коэффициенты для SBER Коэффициенты для ROSN Y-пересечение, — 0, 56 Y-пересечение, 0, 72 Y-пересечение, 3, 38 Переменная X 1, 0, 72 Переменная X 1, 23 Переменная X 1, 0,
для акций «Газпрома» m 1 = — 0, 56 + 0, 72 mr , для акций «Сбербанка» m 2 = 0, 72 + 1, 23 mr , для акций «Роснефть» m 3 = 3, 38 + 0, 76 mr .
Некоторые выводы. . Акции Сбербанка агрессивные бумаги т к β = 1, 23; У акций Газпрома β = 0, 72, он практически совпадает коэффициентом бета для акций Роснефти β = 0, 76, их характеристические линии. почти параллельны другу (С ростом доходности фондового рынка либо) индекса рынка РТС ожидаемая доходность всех, акций возрастает причем доходность по акциям, Сбербанка растет более интенсивно чем по. акциям Газпрома и Роснефти (При нулевой доходности фондового рынка mr = 0) 0, 72% ожидается прибыль по акциям Сбербанка и 3, 38%, по акциям Роснефти а акции Газпрома. принесут убыток
Определение доли рыночного и нерыночного риска активов Общий риск ценной бумаги i , измеряемый ее дисперсией i 2 , обычно представляют в виде: двух составляющих рыночный () систематический или недиверсифицируемый (риск market risk)+ собственный () несистематический или диверсифицируемый (риск unique risk). i 2 = i 2 (m r) 2 + 2 , где 2 i m r 2 — обозначает рыночный риск ценной бумаги i , 2 — собственный риск ценной бумаги i , мерой которого является СКО случайной погрешности i в уравнении
Общий риск = Рыночный риск + Собственный риск (систематический) + (несистематический) Таким образом, вариация доходности каждой ценной бумаги состоит из двух слагаемых: «собственной» вариации, не зависящей от рынка, и «рыночной» части вариации, определяемой случайным поведением рынка в целом. При этом отношение i 2 2 m r / 2 характеризует долю риска ценных бумаг вносимую рынком, его обозначают R i 2 и называют коэффициентом детерминации. Бумаги с большими значениями R i 2 могут оказаться предпочтительнее, поскольку их поведение более предсказуемо.
Специфический риск связан с такими явлениями, как изменения в законодательстве, забастовки, удачная или неудачная маркетинговая политика, заключение или потеря важных контрактов и с другими событиями, которые имеют последствия для данной фирмы. Воздействие таких событий на портфель акций можно исключить путем диверсификации портфеля. Рыночный риск обусловлен наличием факторов, которые оказывают влияние на все акции. К таким факторам относятся война, инфляция, спад производства, повышение процентных ставок и др. Поскольку такие факторы действуют на большинство акций в одном направлении, то рыночный и систематический риск не может быть устранен путем диверсификации.
Модель Шарпа n i iim n i iipxx 1 222 2 1 2 minmin p n i iimxm 1 1 1 n i ix
Оптимизация портфеля по Шарпу
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 индекс рынка 10 9 9 10 10 11 11 12 10 8 акция А 10 11 9 12 13 12 14 12 15 13 акция В 23 21 20 22 23 24 25 27 25 20 Пример. Известны доходности двух акций и доходность индекса рынка за 10 месяцев: Определить: 1. Характеристики каждой ценной бумаги: коэффициенты зависимости от индекса, собственный (или несистематический) риск, рыночный риск и долю риска, вносимую рынком. 2. Сформировать портфель минимального риска из двух видов ценных бумаг при условии, что обеспечивается доходность портфеля не менее чем по безрисковым ценным бумагам (5%) с учетом индекса рынка.
дата индекс ОФЗ, % год. индекс РБК RTKM (Ростелеком) EESR (РАО ЕЭС) KMAZ (КАМАЗ) SBER (сбербанк) LKOH (ЛУКОЙЛ) 1 ноя 07 6, 16 195, 93 112, 46 -27, 92 -24, 14 103, 14 551, 36 2 ноя 07 6, 12 -158, 76 -298, 98 501, 65 -230, 55 -397, 67 -268, 26 6 ноя 07 6, 13 228, 40 -435, 60 -97, 05 37, 90 460, 97 1071, 51 7 ноя 07 6, 05 349, 90 -71, 70 -272, 71 -778, 55 17, 11 332, 93 14 янв 08 6, 01 -32, 50 494, 78 211, 67 689, 43 97, 81 -585, 93 15 янв 08 5, 98 310, 83 179, 85 301, 95 2254, 86 376, 25 -134, 32 16 янв 08 5, 94 -1, 68 -261, 76 -980, 08 576, 80 -1331, 03 -1717, 19 17 янв 08 5, 98 -1471, 25 -1087, 70 -289, 08 1254, 74 -440, 19 -854, 21 среднее 6, 14 39, 81 205, 36 59, 83 516, 15 33, 50 -104, 21 SKO общ. риск 0, 09 450, 60 556, 84 382, 06 1101, 37 501, 22 554, 98 корреляция 0, 27 1, 00 0, 51 0, 24 0, 11 0, 44 0, 51 альфа 6, 14 0, 00 180, 31 51, 62 505, 73 14, 05 -129, 20 бета 0, 00 1, 00 0, 63 0, 21 0, 26 0, 49 0, 63 собств. риск 412, 51 359, 44 1088, 74 404, 51 410, 90 рын. риск 144, 34 22, 62 12, 63 96, 71 144, 08 доля рын. риска 100, 00% 25, 92% 1, 15% 19, 30% 25, 96%Динамика доходности акций и облигаций
портфель RTKM (Ростелеком) KMAZ (КАМАЗ) портфель рынок доля 44, 31% 55, 69% 100, 00% ср. доход 205, 36 516, 15 378, 43 39, 81 ср. риск 556, 84 1101, 37 381, 81 450, 60 SMLпортфель RTKMKMAZ