Обратимся теперь к конкретным софизмам и тем проблемам, которые стоят за ними.

Знаменитые рассуждения древнегреческого философа Зенона «Ахиллес и черепаха», «дихотомия» и др., называемые обычно «апориями» («затруднениями»), были направлены будто бы против движения и существования многих вещей. Сама идея доказать, что мир - это одна-единственная и к тому же неподвижная вещь, нам сегодня кажется странной. Да странной она считалась и древними. Настолько странной, что «доказательства», приводившиеся Зеноном, сразу же были отнесены к простым уловкам, причем лишенным в общем-то особой хитрости. Такими они и считались две с лишним тысячи лет, а иногда считаются и теперь. Посмотрите, читатель, как они формулируются, и обратите внимание на их внешнюю простоту и незамысловатость.

Самое быстрое существо не способно догнать самое медленное, быстроногий Ахиллес никогда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы, немного, но впереди.

В «дихотомии» обращается внимание на то, что движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т. д. до бесконечности. Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет.

Это рассуждение можно несколько переиначить. Чтобы пройти половнчу пути, предмет должен пройти половину этой половины, а для этого нужно пройти половину этой четверти и т. д. Предмет в итоге так и не сдвинется с места.

Этим простеньким на вид рассуждениям посвящены сотни философских и научных работ. В них десятками разных способов доказывается, что допущение возможности движения не ведет к абсурду, что наука геометрия свободна от парадоксов и что математика способна описать движение без противоречия.

Обилие опровержений доводов Зенона показательно. Не вполне ясно, в чем именно состоят эти доводы, что они доказывают. Не ясно, как это «что-то» доказывается и есть ли здесь вообще доказательства? Чувствуется только, что какие-то проблемы или затруднения все-таки есть. И прежде чем опровергать Зенона, нужно выяснить, что именно он намеревался сказать и как он обосновывал свои тезисы. Сам он не формулировал прямо ни проблем, ни своих решений этих проблем. Есть, в частности, только коротенький рассказ, как Ахиллес безуспешно пытается догнать черепаху.

Извлекаемая из этого описания мораль зависит, естественно, от того более широкого фона, на котором оно рассматривается и меняется с изменением этого фона.

Рассуждения Зенона сейчас, надо думать, окончательно выведены из разряда хитроумных уловок. Они, по словам Б. Рассела, «в той или иной форме затрагивают основания почти всех теорий пространства, времени и бесконечности, предлагавшихся с его времени до наших дней».

Общность этих рассуждений е другими софизмами древних несомненна. И те и другие имеют форму краткого рассказа или описания простой в своей основе ситуации, за которой не стоит как будто никаких особых проблем. Однако описание преподносит обыденное явление так, что оно оказывается явно несовместимым с устоявшимися представлениями о нем. Между этими обычными представлениями о явлении и описанием его в апории или софизме возникает резкое расхождение, даже противоречие. Как только оно замечается, рассказ теряет видимость простой и безобидной констатации. За ним открывается неожиданная и неясная глубина, в которой смутно угадывается какой-то вопрос или даже многие вопросы. Трудно сказать с определенностью, в чем именно состоят эти вопросы, их еще предстоит уяснить и сформулировать, но очевидно, что они есть. Их надо извлечь из рассказа подобно тому, как извлекается мораль из житейской притчи. И как в случае притчи, результаты размышления над рассказом важным образом зависят не только от него самого, но и от того контекста, в котором этот рассказ рассматривается. В силу этого вопросы оказываются не столько поставленными, сколько навеянными рассказом. Они меняются от человека к человеку и от времени ко времени. И нет полной уверенности в том, что очередная пара «вопрос - ответ» исчерпала все содержание рассказа.

«МЕДИМН ЗЕРНА»

Зенон предложил еще один софизм - «медимн зерна» (примерно мешок зерна), послуживший прототипом для знаменитых софизмов Евбулида «куча» и «лысый».

Большая масса мелких, просяных например, зерен при падении на землю всегда производит шум. Он складывается из шума отдельных зерен, и, значит, каждое зерно и каждая малейшая часть зерна должны, падая, производить шум. Однако отдельное зерно падает на землю совершенно бесшумно. Значит, и падающий на землю медимн зерна не должен был бы производить шум, ведь он состоит из множества зерен, каждое из которых падает бесшумно. Но все-таки медимн зерна падает с шумом!

В прошлом веке начала складываться экспериментальная психология. «Медимн зерна» стал истолковываться - в духе времени - как первое неясное указание на существование только что открытых порогов восприятия. Это истолкование многим кажется убедительным и сегодня.

Человек слышит не все звуки, а только достигающие определенной силы. Падение отдельного зерна производит шум, но он настолько слаб, что лежит за пределами человеческого слуха. Падение же многих зерен дает шум, улавливаемый человеком. «Если бы Зенон был знаком с теорией звука, - писал тогда немецкий философ Т. Брентано, - он не измыслил бы, конечно, своего аргумента».

Как-то при таком объяснении совершенно не замечалось одно простое, но меняющее все дело обстоятельство: софизм «медимн зерна» строго аналогичен софизмам «куча» и «лысый». Но последние не имеют никакого отношения ни к теории звука, ни к психологии слуха.

Значит, для них нужны какие-то другие и притом разные объяснения.

Это кажется явно непоследовательным. Однотипные софизмы должны решаться одинаково. Кроме того, раз уловлен принцип построения подобных софизмов, их можно формулировать сколько заблагорассудится. Было бы наивно, однако, для каждого из них искать какое-то свое решение.

Гораздо более глубоким является их анализ, данный Г. Гегелем. Вопросы: «Создает ли прибавление одного зерна кучу?», «Становится ли хвост лошади голым, если вырвать из него один волос?» -кажутся наивными. Нов них находит свое выражение попытка древних греков представить наглядно противоречивость всякого изменения.

Постепенное, незаметное, чисто количественное изменение какого-то объекта не может продолжаться бесконечно. В определенный момент оно достигает своего предела, происходит резкое качественное изменение и объект переходит в другое качество. Например, при температуре от 0° до 100°С вода представляет собой жидкость. Постепенное нагревание ее заканчивается тем, что при 100°С она закипает и резко, скачком переходит в другое качественное состояние - превращается в пар. «Когда происходит количественное изменение, - пишет Г. Гегель, - оно кажется сначала совершенно невинным, но за этим изменением скрывается еще и нечто другое, и это кажущееся невинным изменение количественного представляет собой как бы хитрость, посредством которой уловляется качественное».

Софизмы типа «медимн зерна», «куча», «лысый» являются также наглядным примером тех трудностей, к которым ведет употребление неточных или «размытых» понятий. Но об этом уже говорилось в третьей главе.

Зенон был одним из представителей элейской школы. Он разработал знаменитые доказательства, подтверждающие идеи Парменида о том, что наши чувства обманывают нас, а истинную картину мира может нарисовать только разум. Зенон прославился тем, что создал так называемые апории, т.е. мысли, в которых два противоречащих суждения одновременно истинны. С помощью таких апорий Зенон пытался доказать, что движение, наблюдаемое нами, на самом деле не существует, потому что когда мы начинаем о нем размышлять, то наталкиваемся на непреодолимые трудности и противоречия.

Ниже представлены самые известные апории Зенона.

1. Ахиллес и черепаха.

Говорят, что однажды Зенон рассказал эту апорию в собрании своих коллег, а один философ в ответ начал просто молча ходить по комнате, тем самым как бы говоря: «Смотрите, я же двигаюсь, а Зенон утверждает, что это невозможно!». Однако тем самым он не опровергает апорию Зенона, ведь эта апория строится не на чувственном (зрительном) понимании, а разумном. До сих пор многие ученые пытаются опровергнуть эту апорию, но достойно опровергнуть такую логически верную апорию очень сложно.

Даже А.С. Пушкин писал по поводу этой апории:

Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей.

2. Дихотомия

Конечно, мы знаем, что на самом деле тела могут перемещаться в пространстве, ведь постоянно наблюдаем вокруг себя движения различных тел, но апории Зенона заставляют задуматься о истинности нашего наблюдения.

3. Летящая стрела

Аристотель пытался опровергнуть эту апорию. Он писал следующее:

Зенон же рассуждает неправильно. Если всегда - говорит он - всякое тело покоится, когда оно находится в равном себе месте, а перемещающееся тело в момент «теперь» всегда находится в равном себе месте, то летящая стрела неподвижна. Но это неверно, потому что время не слагается из неделимых «теперь», а также никакая другая величина.

Однако, позиция Аристотеля явно не безупречна, ведь ему так и не удалось найти логические ошибки в суждениях Зенона. Действительно, ведь его апории с точки зрения логики безукоризненны!

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Квантовый эффект Зенона

✪ R-анализ. Апории Зенона. Стадий

✪ Ахилес и черепаха логика апории Зенона парадокс философия Катющик

✪ R-анализ. Апории Зенона. Стрела: формулировка

✪ Квантовый парадокс Зенона

Субтитры

Философия элеатов

Элейская философская школа (элеаты) существовала в период с конца VI века до н. э. до первой половины V века до н. э., родоначальником её считается Парменид , учитель Зенона. Школа разработала своеобразное учение о бытии. Парменид изложил свои философские взгляды в поэме, от которой до нас дошли отдельные фрагменты .

Элеаты отстаивали единство бытия, считая, что представление о множественности вещей во Вселенной ошибочно . Бытие элеатов полно, реально и познаваемо, однако вместе с тем оно нераздельно, неизменно и вечно, у него нет ни прошлого, ни будущего, ни рождения, ни смерти. Мышление, говорилось в поэме Парменида, по своему содержанию тождественно предмету мышления («одно и то же - мышление и то, о чём мысль»). Далее Парменид логически выводит характеристики истинно сущего: оно «не возникло, не уничтожимо, целокупно [не имеет частей] , единственно, неподвижно и нескончаемо [во времени]».

Познание этого целостного мира возможно только путём разумных (логических) рассуждений, а чувственная картина мира, включая наблюдаемые движения, обманчива и противоречива . С этих же позиций элеаты впервые в науке поставили вопрос о допустимости научных понятий, связанных с бесконечностью .

«В стремительном [полёте] стрелы есть момент отсутствия и движения, и остановки».
«Если от палки [длиной] в один чи ежедневно отнимать половину, это не завершится и через 10000 поколений».

Критика апорий Аристотелем

Позиция Аристотеля ясна, но не безупречна - и прежде всего потому, что ему самому не удалось ни обнаружить логические ошибки в доказательствах, ни дать удовлетворительное объяснение парадоксам… Аристотелю не удалось опровергнуть аргументы по той простой причине, что в логическом отношении доказательства Зенона составлены безукоризненно.

Атомистический подход

Как следствие, наблюдаемое движение из непрерывного становится скачкообразным. Александр Афродисийский , комментатор Аристотеля, так изложил взгляды сторонников Эпикура: «Утверждая, что и пространство, и движение, и время состоят из неделимых частиц, они утверждают также, что движущееся тело движется на всем протяжении пространства, состоящего из неделимых частей, а на каждой из входящих в него неделимых частей движения нет, а есть только результат движения» . Подобный подход сразу обесценивает парадоксы Зенона, так как убирает оттуда все бесконечности.

Обсуждение в Новое время

Полемика вокруг зеноновских апорий продолжилась и в Новое время. До XVII века интерес к апориям не отмечается, и их аристотелевская оценка являлась общепринятой. Первое серьёзное исследование предпринял французский мыслитель Пьер Бейль , автор известного «Исторического и критического словаря» (). В статье о Зеноне Бейль подверг критике позицию Аристотеля и пришёл к выводу, что Зенон прав: понятия времени, протяжённости и движения связаны с трудностями, непреодолимыми для человеческого ума .

Сходные с апориями темы затронуты в антиномиях Канта . Гегель в своей «Истории философии» подчеркнул, что Зенонова диалектика материи «не опровергнута до сегодняшнего дня» (ist bis auf heutigen Tag unwiderlegt ) . Гегель оценил Зенона как «отца диалектики» не только в античном, но и в гегелевском смысле слова диалектика . Он отметил, что Зенон различает чувственно воспринимаемое и мыслимое движение. Последнее, в соответствии со своей философией, Гегель описал как сочетание и конфликт противоположностей, как диалектику понятий . Гегель не даёт ответа на вопрос, насколько этот анализ приложим к реальному движению, ограничившись выводом: «Зенон осознал определения, содержащиеся в наших представлениях о пространстве и времени, и обнаружил заключающиеся в них противоречия»

Во второй половине XIX века анализом парадоксов Зенона занимались многие учёные, высказывавшие самые разные точки зрения. Среди них :

и многие другие.

Современная трактовка

Довольно часто появлялись (и продолжают появляться) попытки математически опровергнуть рассуждения Зенона и тем самым «закрыть тему». Например, построив ряд из уменьшающихся интервалов для апории «Ахиллес и черепаха», можно легко доказать, что он сходится, так что Ахиллес обгонит черепаху. В этих «опровержениях», однако, подменяется суть спора. В апориях Зенона речь идёт не о математической модели, а о реальном движении, и поэтому бессмысленно ограничить анализ парадокса внутриматематическими рассуждениями - ведь Зенон как раз и ставит под сомнение применимость к реальному движению идеализированных математических понятий . О проблеме адекватности реального движения и его математической модели см. следующий раздел данной статьи.

Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться .

Серьёзные исследования апорий Зенона рассматривают физическую и математическую модели совместно. Р. Курант и Г. Роббинс полагают, что для разрешения парадоксов необходимо существенно углубить наше понимание физического движения . С течением времени движущееся тело последовательно проходит все точки своей траектории, однако если для любого ненулевого интервала пространства и времени нетрудно указать следующий за ним интервал, то для точки (или момента) невозможно указать следующую за ней точку, и это нарушает последовательность. «Остаётся неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать её основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие.»

Гильберт и Бернайс высказывают мнение, что суть парадоксов состоит в неадекватности непрерывной, бесконечно делимой математической модели, с одной стороны, и физически дискретной материи, с другой : «мы вовсе не обязательно должны верить в то, что математическое пространственно-временное представление движения имеет физическое значение для произвольно малых интервалов пространства и времени». Другими словами, парадоксы возникают из-за некорректного применения к реальности идеализированных понятий «точка пространства» и «момент времени», которые не имеют в реальности никаких аналогов, потому что любой физический объект имеет ненулевые размеры, ненулевую длительность и не может быть делим бесконечно.

Близкие точки зрения можно найти у Анри Бергсона и у Николя Бурбаки . Согласно Анри Бергсону :

Противоречия, на которые указывает школа элеатов, касаются не столько самого движения как такового, сколько того искусственного преобразования движения, которое совершает наш разум.

Бергсон полагал, что есть принципиальная разница между движением и пройденным расстоянием. Пройденное расстояние можно произвольно делить, между тем как движение произвольному делению не поддаётся. Каждый шаг Ахиллеса и каждый шаг черепахи должны рассматриваться как неделимые. Это же относится и к полёту стрелы:

Истина заключается в том, что если стрела выходит из точки А и попадает в точку В, то её движение АВ так же просто, так же неразложимо - поскольку это есть движение, - как напряжение пускающего её лука.
- Бергсон А. Творческая эволюция. Глава четвёртая. Кинематографический механизм мышления и механистическая иллюзия. Взгляд на историю систем, реальное становление и ложный эволюционизм

Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный ещё ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса - как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера.

Замечание Бурбаки означает, что необходимо объяснить: каким образом физический процесс за конечное время принимает бесконечно много различных состояний. Одно из возможных объяснений: пространство-время в действительности является дискретным , то есть существуют минимальные порции (кванты) как пространства, так и времени . Если это так, то все парадоксы бесконечности в апориях исчезают. Ричард Фейнман заявил :

Теория, согласно которой пространство непрерывно, мне кажется неверной, потому что [в квантовой механике] она приводит к бесконечно большим величинам и другим трудностям. Кроме того, она не дает ответа на вопрос о том, чем определяются размеры всех частиц. Я сильно подозреваю, что простые представления геометрии, распространенные на очень маленькие участки пространства, неверны.

Дискретное пространство-время активно обсуждалось физиками ещё в 1950-е годы - в частности, в связи с проектами единой теории поля , - однако существенного продвижения по этому пути добиться не удалось.

С. А. Векшенов считает, что для решения парадоксов необходимо ввести числовую структуру, более соответствующую интуитивно-физическим представлениям, чем канторовский точечный континуум . Пример неконтинуальной теории движения предложил Садэо Сирайси .

Адекватность аналитической теории движения

Общая теория движения с переменной скоростью была разработана в конце XVII века Ньютоном и Лейбницем . Математической основой теории служит математический анализ , первоначально опиравшийся на понятие бесконечно малой величины. В дискуссии о том, что собой представляет бесконечно малая, вновь возродились два античных подхода .

Первый подход, которого придерживался Лейбниц, доминировал весь XVIII век . Аналогично античному атомизму, он рассматривает бесконечно малые как особый вид чисел (больше нуля, но меньше любого обычного положительного числа). Строгое обоснование этого подхода (так называемый нестандартный анализ) разработал Абрахам Робинсон в XX веке . Основой анализа по Робинсону служит расширенная числовая система (гипервещественные числа ). Конечно, робинсоновские бесконечно малые мало похожи на античные атомы хотя бы потому, что они неограниченно делимы, но они позволяют корректно рассматривать непрерывную кривую во времени и пространстве как состоящую из бесконечного количества бесконечно малых участков.
Второй подход предложил Коши в начале XIX века . Его анализ построен на обычных вещественных числах , а для анализа непрерывных зависимостей используется теория пределов . Сходного мнения на обоснование анализа придерживались Ньютон , Даламбер и Лагранж , хотя были в этом мнении не всегда последовательны.

Оба подхода практически эквивалентны, но с точки зрения физики удобнее первый; в учебниках физики часто встречаются фразы вроде «пусть dV - бесконечно малый объём…». С другой стороны, вопрос о том, какой из подходов ближе к физической реальности, не решён. При первом подходе неясно, чему соответствуют в природе бесконечно малые числа. При втором адекватности физической и математической модели мешает тот факт, что операция перехода к пределу - инструментальный исследовательский приём, не имеющий никакого природного аналога. В частности, трудно говорить о физической адекватности бесконечных рядов, элементы которых относятся к произвольно малым интервалам пространства и времени (хотя как приближённая модель реальности такие модели часто и успешно используются) . Наконец, не доказано, что время и пространство устроены сколько-нибудь похоже на математические структуры вещественных или гипервещественных чисел .

Дополнительную сложность внесла в вопрос квантовая механика , показавшая, что в микромире резко повышена роль дискретности. Таким образом, дискуссии о структуре пространства, времени и движения, начатые Зеноном, активно продолжаются и далеки от завершения.

Другие апории Зенона

Вышеприведённые (наиболее известные) апории Зенона касались применения понятия бесконечности к движению, пространству и времени. В других апориях Зенон демонстрирует иные, более общие аспекты бесконечности. Однако, в отличие от трёх знаменитых апорий о физическом движении, другие апории изложены менее ясно и касаются в основном чисто математических или общефилософских аспектов. С появлением математической теории бесконечных множеств интерес к ним существенно упал.

Стадион

Апория «Стадион» (или «Ристалище») у Аристотеля («Физика», Z, 9) сформулирована не вполне ясно:

Четвертый [аргумент] - о равных телах, движущихся по стадиону в противоположных направлениях параллельно равных [им тел]; одни [движутся] от конца стадия, другие - от середины с равной скоростью, откуда, как он думает, следует, что половина времени равна двойному.

Исследователи предлагали разные истолкования этой апории. Л. В. Блинников сформулировал её следующим образом :

Пусть время состоит из неделимых протяженных атомов. Представим себе на противоположных концах ристалища двух бегунов, настолько быстрых, что на пробег от одного до другого конца ристалища каждому из них требуется один только атом времени. И пусть оба одновременно выбегают с противоположных концов. Когда произойдет их встреча, неделимый атом времени разделится пополам, то есть в атомы времени тела не могут двигаться, как это и было предположено в апории «Стрела».

По другим интерпретациям, идея этой апории аналогична парадоксу Галилея или «колесу Аристотеля» : бесконечное множество может быть равномощно своей части .

Множественность

Часть апорий посвящена обсуждению вопроса о единстве и множественности мира .

Сходные вопросы обсуждаются в диалоге Платона «Парменид» , где Зенон и Парменид обстоятельно разъясняют свою позицию. На современном языке данное рассуждение Зенона означает , что множественное бытие не может быть актуально бесконечно и поэтому должно быть конечно, но к существующим вещам всегда можно добавить новые, что противоречит конечности. Вывод: бытие не может быть множественным.

Комментаторы обращают внимание на то, что данная апория по своей схеме чрезвычайно напоминает открытые на рубеже XIX -XX веков антиномии теории множеств , особенно парадокс Кантора : с одной стороны, мощность множества всех множеств больше, чем мощность любого другого множества, но с другой стороны, для любого множества нетрудно указать множество большей мощности (теорема Кантора). Это противоречие, вполне в духе апории Зенона, разрешается однозначно: абстракция множества всех множеств признаётся недопустимой и несуществующей как научное понятие.

Мера

Доказав, что, «если вещь не имеет величины, она не существует», Зенон прибавляет: «Если вещь существует, необходимо, чтобы она имела некоторую величину, некоторую толщину и чтобы было некоторое расстояние между тем, что представляет в ней взаимное различие». То же можно сказать о предыдущей, о той части этой вещи, которая предшествует по малости в дихотомическом делении. Итак, это предыдущее должно также иметь некоторую величину и своё предыдущее. Сказанное один раз можно всегда повторять. Таким образом, никогда не будет крайнего предела, где не было бы различных друг от друга частей. Итак, если есть множественность, нужно, чтобы вещи были в одно и то же время велики и малы и настолько малы, чтобы не иметь величины, и настолько велики, чтобы быть бесконечными… У чего нет совершенно ни величины, ни толщины, ни объёма, того и вовсе нет.

Другими словами, если деление вещи пополам сохраняет её качество, то в пределе получаем, что вещь одновременно и бесконечно велика (поскольку неограниченно делима), и бесконечно мала. Кроме того, непонятно, как существующая вещь может иметь бесконечно малые измерения.

Более подробно эти же аргументы присутствуют в комментариях Филопона . Также аналогичные рассуждения Зенона цитирует и критикует Аристотель в своей «Метафизике» :

Если само-по-себе-единое неделимо, то, согласно положению Зенона, оно должно быть ничем. В самом деле, если прибавление чего-то к вещи не делает её больше и отнятие его от неё не делает её меньше, то, утверждает Зенон, это нечто не относится к существующему, явно полагая, что существующее - это величина, а раз величина, то и нечто телесное: ведь телесное есть в полной мере сущее; однако другие величины, например плоскость и линия, если их прибавлять, в одном случае увеличивают, а в другом нет; точка же и единица не делают этого никаким образом. А так как Зенон рассуждает грубо и так как нечто неделимое может существовать, и притом так, что оно будет некоторым образом ограждено от Зеноновых рассуждений (ибо если такое неделимое прибавлять, оно, правда, не увеличит, но умножит), то спрашивается, как из одного такого единого или нескольких получится величина? Предполагать это - всё равно что утверждать, что линия состоит из точек.

О месте

В изложении Аристотеля апория утверждает: если всё существующее помещается в известном пространстве (месте , греч. топос ), то ясно, что будет и пространство пространства, и так идёт в бесконечность . Аристотель замечает на это, что место не есть вещь и не нуждается в собственном месте. Данная апория допускает расширенное толкование, поскольку элеаты не признавали пространство отдельно от тел, в нём расположенных, то есть отождествляли материю и пространство, ею занимаемое . Хотя Аристотель и отвергает рассуждение Зенона, но в своей «Физике» он приходит по существу к тому же выводу, что и элеаты: место существует лишь относительно тел, в нём находящихся. При этом Аристотель обходит молчанием естественный вопрос, как происходит изменение места при движении тела .

Медимн зерна

Формулировка Зенона подвергалась критике, так как парадокс легко объясняется ссылкой на порог восприятия звука - отдельное зерно падает не бесшумно, а очень тихо, поэтому звука падения не слышно. Смысл апории - доказать, что часть не подобна целому (качественно отличается от него) и, следовательно, бесконечная делимость невозможна . Аналогичные парадоксы предложил в IV веке до н. э. Евбулид - парадоксы «Лысый» и «Куча »: «одно зерно - не куча, добавление одного зерна не меняет дела, с какого же количества зёрен начинается куча?»

Историческое значение апорий Зенона

«Зенон вскрыл противоречия, в которые впадает мышление при попытке постигнуть бесконечное в понятиях. Его апории - это первые парадоксы, возникшие в связи с понятием бесконечного» . Чёткое различение потенциальной и актуальной бесконечности у Аристотеля - во многом результат осмысления зеноновских апорий. Другие исторические заслуги элейских парадоксов:

Как уже отмечалось выше, формирование античного атомизма было попыткой дать ответ на вопросы, поставленные апориями. В дальнейшем к исследованию вопроса привлекались математический анализ , теория множеств , новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса, но сам факт непрерывного живого интереса к древней проблеме показывает её эвристическую плодотворность.

Различные точки соприкосновения апорий Зенона с современной наукой обсуждаются в статье Зураба Силагадзе . В заключении этой статьи автор приходит к выводу:

Проблемы, поставленные два с половиной тысячелетия назад и с тех пор многократно изученные, до сих пор не исчерпаны. Парадоксы Зенона затрагивают фундаментальные аспекты реальности - локализацию, движение, пространство и время. Время от времени обнаруживаются новые и неожиданные грани этих понятий, и каждое столетие находит полезным снова и снова возвращаться к Зенону. Процесс достижения их окончательного разрешения представляется бесконечным, и наше понимание окружающего мира всё ещё неполно и фрагментарно.

Апории Зенона в литературе и искусстве

В этом историческом анекдоте «мудрец брадатый» - это сторонник Зенона (комментатор Элиас, как сказано выше, приписывал аргументацию самому Зенону ), а его оппонентом в разных вариантах анекдота выступает Диоген или Антисфен (оба они жили существенно позднее Зенона, так что с ним самим спорить не могли). Одна из версий анекдота, упоминаемая Гегелем , сообщает, что когда элеат признал аргумент Диогена убедительным, Диоген побил его палкой за чрезмерное доверие к очевидности .

В основе сюжета фантастического рассказа Ф. Дика «О неутомимой лягушке» лежит апория «Дихотомия».

Апория про Ахиллеса неоднократно упоминается в произведениях Борхеса . Парадоксальная ситуация, описанная в ней, нашла также отражение в различных юмористических произведениях . Такэси Китано в 2008 году снял фильм «Ахиллес и черепаха» .

См. также

Примечания

, с. 90.
, часть 14.
, 29. ЗЕНОН ЭЛЕЙСКИЙ.
, с. 15-16.
, с. 116-118.
Ивин А. А. По законам логики . - М. : Молодая гвардия, 1983. - 208 с. - («Эврика»).
Рожанский И. Д. Античная наука. - М. : Наука, 1980. - С. 52. - 198 с. - (История науки и техники).
Большая советская энциклопедия // Апория .
Парменид / А. В. Лебедев // В. С. Стёпин Мысль , 2010. - 2816 с.
Элейская школа / А. В. Лебедев // Новая философская энциклопедия : в 4 т. / пред. науч.-ред. совета В. С. Стёпин . - 2-е изд., испр. и доп. - М. : Мысль , 2010. - 2816 с.
Рожанский И. Д. Ранняя греческая философия // Фрагменты ранних греческих философов
, часть 16.
Лосев А. Ф. Зенон Элейский // Философская энциклопедия . - М. : Советская энциклопедия, 1962. - Т. 2.
Асмус В. Ф. Элейская школа // Античная философия. - М. : Высшая школа, 2005. - 408 с. - ISBN 5-06-003049-0 .
, часть 15.
Zeno of Elea // Stanford Encyclopedia of Philosophy.
, с. 50-52.
Диоген Лаэртский. Жизнь, учения и изречения знаменитых философов, глава «Пифагор» .
, с. 18-20.
, с. 21.
«Физика» Аристотеля.
, с. 29-30.
, с. 38.
Лурье С. Очерки из истории античной науки. - М.-Л.: Изд. АН СССР, 1947. - С. 181. - 403 с.
, с. 31-35.
, с. 35-41.
Гегель Г. В. Ф. Сочинения в 14 тт. - М. : Соцэкгиз, 1959. - Т. IX. - С. 244.
Таннери П. Первые шаги древнегреческой науки. - СПб. , 1902.
Papa-Grimaldi, Alba. Why Mathematical Solutions of Zeno"s Paradoxes Miss the Point: Zeno"s One and Many Relation and Parmenides" Prohibition (неопр.) . The Review of Metaphysics (1996). Архивировано 28 августа 2011 года.
Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. - М. , 1979. - С. 40.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика . - 3-е изд. - М. : МЦНМО, 2001. - С. 353. - 568 с. - ISBN 5-900916-45-6 .
, с. 93.
Цит. по: Данциг, Тобиас. Числа - язык науки. - М. : Техносфера, 2008. - С. 111. - ISBN 978-5-94836-172-7 .
Николя Бурбаки . Архитектура математики. Очерки по истории математики. - М. : Иностранная литература, 1963. - С. 38.
van Bendegem, Jean Paul (1987). “Discussion:Zeno"s Paradoxes and the Tile Argument” . Philosophy of Science . Belgium. 54 : 295–302. Дата обращения 2010-02-27 .
Фейнман Р. Характер физических законов. - Изд. 2-е. - М. : Наука, 1987. - С. 152-153. - 160 с. - (Библ. Квант, выпуск 62).
Кузнецов Б. Г. Эйнштейн. Жизнь. Смерть. Бессмертие. - 5-е изд., перераб. и доп. - М. : Наука, 1980. - С. 368-374.
Клайн М. Математика. Утрата определённости . - М. : Мир, 1984. - С. 401-402.
Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ . - М. : Наука, 1987.

Зенон из Элеи и его апории

Задачу отстоять воззрения Парменида против выдвинутых возражений взял на себя ученик и друг Парменида Зенон*. Он родился в начале 5 в. до н. э. (480) и умер в 430 г. до н. э. Зенон пользовался славой как талантливый учитель и оратор. Молодость прожил в тихом, уединенном учении, высоко ценил превосходство умственных наслаждений - единственных удовольствий, никогда не пресыщающих. От Парменида научился презирать роскошь. Его наградой был голос собственного сердца, ровно бившегося в сознании своей правоты. Вся его жизнь - борьба за истину и справедливость. Она кончилась трагически, но велась не понапрасну. От его сочинений дошли только многочисленные и небольшие по объему извлечения, сделанные позднейшими античными писателями. Из них на первое место должны быть поставлены свидетельства Аристотеля в «Физике», а также свидетельства Симплиция, комментатора аристотелевской «Физики». Они дают возможность характеризовать то новое, что внес Зенон в греческую науку сравнительно с Парменидом, при всей наивности его аргументации в деталях.

Зенон развил ряд аргументов в защиту учения Парменида. Метод, примененный им в этих аргументах, впоследствии дал основание Аристотелю назвать Зенона родоначальником «диалектики». Под «диалектикой» Аристотель в этом случае понимает искусство выяснения истины путем обнаружения внутренних противоречий, заключающихся в мыслях противника, и путем устранения этих противоречий.

Метод Зенона сходен с тем, который называется в математике «доказательством от противного». Зенон принимает - условно - тезисы противников Парменида. Он принимает, (1) что пространство может быть мыслимо как пустота, как отдельное от наполняющего пространство вещества; (2) что мыслимо существование множества вещей; (3) что может быть мыслимо движение. Приняв условно эти три предположения, Зенон доказывает, будто признание их ведет с необходимостью к противоречиям. Тем самым доказывается, что предположения эти ложны. Но если они ложны, то необходимо должны быть истинны противоречащие им утверждения. А это и есть утверждения Парменида. Стало быть, утверждения Парменида истинны: пустота, множество и движение немыслимы.

Рассмотрим аргументы Зенона в отдельности по этим трем вопросам. Начнем с вопроса о мыслимости пустоты , т. е. пространства, отделенного от вещества. Если мы допустим существование такого пространства, то вступает в силу следующее рассуждение. Все существующее находится где-нибудь в пространстве. Но чтобы; существовать, пространство тоже должно находиться «где-нибудь», т. е. существовать во втором пространстве. Это второе пространство в свою очередь должно существовать в третьем пространстве, и так до бесконечности. Но это абсурдно. Следовательно, пространство как отдельное от вещества немыслимо.

Второй вопрос - о мыслимости множества . Допустим, что множество мыслимо. Тогда возникают вопросы: 1. Каким необходимо мыслить каждый в отдельности элемент этого множества? 2. Каким необходимо мыслить общее количество элементов множества: будет ли их сумма числом конечным или бесконечным? Исследование Зенона показывает, что по обоим этим вопросам получаются npoтиворечивые ответы. По первому вопросу - каким должен мыслиться каждый отдельный элемент множества - оказывается, что о каждом таком элементе необходимо придется отвечать, что он одновременно и не имеет никакой величины и бесконечно велик по величине. По второму вопросу - какой должна мыслиться сумма элементов множества - оказывается, что она необходимо должна мыслиться и как число конечное, и как число бесконечное.

Исследование по третьему вопросу - о мыслимости движения - так же необходимо приводит к противоречащим утверждениям. Аргументы Зенона по этому вопросу стали особенно знамениты и приобрели широкую известность. Зенон разработал несколько таких аргументов, из которых до нас дошли четыре: «Дихотомия (деление на два)», «Ахилл», «Летящая стрела» и «Стадий». Общая их схема - то же опровержение «от противного». Допустим, вместе с противниками Парменида, будто движение мыслимо. Тогда о движущемся теле или о движущихся телах необходимо придется высказывать противоречащие друг другу утверждения: 1) что движение возможно и 2) что оно невозможно. При помощи четырех аргументов Зенон доказывает, что движение невозможно. Оно невозможно, во-первых, как движение одного-единственного тела, переходящего по прямой из одной ее точки в другую. Чтобы пройти некоторую дистанцию, отделяющую точку А от точки В,

* Не следует смешивать с другими греческими философами, носившими это имя, например со стоиком Зеноном из Китиона на Кипре.

тело должно предварительно пройти половину этой дистанции; чтобы пройти половину, оно должно предварительно пройти половину этой половины, и т. д. до бесконечности. В результате этого тело не только не может пройти из точки А в точку В, но не может даже покинуть точку А, т. е. движение от точки А к точке В не может не только завершиться, однажды начавшись, но даже не может начаться. Таков смысл аргумента «Дихотомия».

Немыслимость движения одного, отдельно взятого тела доказывается также посредством аргумента «Летящая стрела» . По предположению, стрела летит, т. е. движется в пространстве. Но о ней в то же время необходимо утверждать, что она в каждое мгновение полета занимает пространство, равное собственной длине, т. е. пребывает в пределах этой части пространства, «значит» в нем неподвижна. Выходит, стало быть, что летящая стрела и движется, и не движется. В апории «Стрела» Зенон доказывает, что, двигаясь, стрела в каждый данный момент времени занимает данное место пространства. Так как каждое мгновение неделимо (это что-то вроде точки во времени), то в его пределах стрела не может изменить своего положения. А если она неподвижна в каждую данную единицу времени, она неподвижна и в данный промежуток его. Движущееся тело не движется ни в том месте, которое оно занимает, ни в том, которое оно не занимает. Поскольку время состоит из отдельных моментов, постольку движение стрелы должно складываться из суммы состояний покоя. Это также делает невозможным движение. Поскольку стрела в каждом пункте своего пути занимает вполне определенное место, равное своему объему, а движение невозможно, если тело занимает равное себе место (для движения предмет нуждается в пространстве, большем себя), то в каждом месте тело покоится. Словом, из того соображения, что стрела постоянно находится в определенных, но неразличимых «здесь» и «теперь», вытекает, что положения стрелы также неразличимы: она покоится.

Но движение немыслимо и как движение двух тел друг относительно друга. Оно немыслимо, как движение по прямой двух тел, разделенных некоторой дистанцией и одновременно движущихся в одном и том же направлении, причем тело, движущееся позади, движется быстрее того, что движется впереди. Зенон доказывает, что при этих условиях тело, движущееся с большей скоростью, никогда не догонит того, что уходит от него с меньшей скоростью. Ахилл , славившийся быстротой своего бега, никогда не догонит убегающей от него черепахи. Пусть Ахилл бежит быстрее черепахи, но по истечении любого промежутка времени, как бы мал он ни был, черепаха успеет пройти расстояние, которое, как бы незначительно оно ни было, никогда не будет равно нулю. Следовательно, рассуждает Зенон, ни в один момент бега вся дистанция, отделяющая Ахилла от черепахи, не превратится в нуль, и потому Ахилл действительно никогда не догонит черепаху.

Аргумент «Стадий» опровергает мыслимость движения, опровергая одну из принятых во время Зенона предпосылок движения - предположение, будто пространство состоит из неделимых частей (отрезков), а время - также из неделимых частей (моментов). Сделаем это допущение. Допустим также, что с противоположных сторон движутся по параллельным линиям равные по величине тела. Допустим, наконец, что тела эти проходят мимо третьего тела той же величины, но неподвижного (см. рисунок).

А1 А2 А3 А4 В4 В3 В2 В1 ---> <--- С1 С2 С3 С4

А1 А2 А3 А4 В4 В3 В2 В1 С1 С2 С3 С4

Тогда получается, что одна и та же точка, движущаяся с равной скоростью, пройдет одно и то же расстояние не в одно и то же время, но пройдет его в одном случае в половину времени, а в другом - в удвоенное время. В одно и то же время крайние точки каждого из движущихся рядов В4 В3 В2 В1 и С1 С2 С3 С4 пройдут мимо всех остальных точек другого движущегося ряда. Однако в то же самое время они пройдут только мимо половины точек ряда, который остается неподвижным во время их движения. Такой различный результат будет зависеть от того, откуда станем мы рассматривать ее движение. Но в результате мы приходим к противоречию, так как половина оказывается равной целому. Другими словами, в аргументе «Стадий» немыслимость движения доказывается из рассмотрения времени, относительно которого предполагается, что оно, как и пространство, состоит из множества дискретных, но якобы соседствующих элементов.

Мы убедились, что во всех рассуждениях Зенона вопрос ставится вовсе не о том, можем ли мы воспринимать движение посредством чувств или не можем. В том, что движение воспринимается чувствами, ни Парменид, ни Зенон, не сомневаются. Вопрос состоит в том, возможно ли мыслить движение, если, мысля движение, мы допускаем при этом, что пространство, в котором движутся тела, состоит из множества отделенных одна от другой частей, и если допускаем, что время, в котором протекают все явления и происходит движение, состоит из множества отделенных друг от друга моментов. Неизбежность противоречий, к которым при этих предпосылках приходит мысль, доказывает, по Зенону, что утверждаемая противниками Парменида мыслимость множества невозможна. Тот же смысл имеет и опровержение мыслимости пустого пространства. Суть аргумента Зенона вовсе не в доказательстве того, будто пространство не существует . Зенон доказывает другое. Он доказывает, что пространство не может мыслиться как пространство пустое, как пространство, существующее в какой бы то ни было своей части отдельно от вещества.

Аргументы Зенона сообщили мощный импульс дальнейшему развитию античной математики, античной логики и античной диалектики. Эти аргументы вскрыли противоречия в понятиях современной Пармениду и Зенону науки - в понятиях о пространстве, о едином и многом, о целом и частях, о движении и покое, о непрерывном и прерывном. Апории Зенона побуждали мысль искать разрешения замеченных им трудностей. Нависшая над математическим познанием угроза неразрешимых противоречий была устранена впоследствии атомистическим материализмом Левкиппа и Демокрита.

Апории Зенона связаны с диалектикой дробного и непрерывного в движении (а также самом пространстве-времени). Анализируя гипотетическое соревнование Ахиллеса и черепахи, Зенон представляет перемещение каждого из них в виде совокупности отдельных конечных перемещений: первоначального отрезка, разделяющего черепаху и Ахиллеса, того отрезка, который проползет черепаха, пока Ахиллес преодолевает исходный разрыв, и т.п. В этом «пока» и заключена замена непрерывного движения на отдельные «шажки» - в реальности ни Ахиллес, ни черепаха не ждут друг друга и движутся независимо от условного разбиения их пути на воображаемые отрезки. Тогда путь, который предстоит преодолеть Ахиллесу, равен сумме бесконечного числа слагаемых, откуда Зенон и заключает, что на него не хватит никакого (конечного) времени.

Если считать, что «время» измеряется количеством отрезков, то заключение справедливо. Обычно, однако, указывают, что Зенону просто не было знакомо понятие суммы бесконечного ряда, иначе он увидел бы, что бесконечное число слагаемых дает все же конечный путь, который Ахиллес, двигаясь с постоянной скоростью, без сомнения, преодолеет за надлежащее (конечное) время.

Таким образом, элеатам не удалось доказать, что движения нет. Они своими тонкими рассуждениями показали то, что едва ли кто из их современников осмысливал, - что такое движение? Сами они в своих размышлениях поднялись на высокий уровень философских поисков тайны движения. Однако они не смогли разорвать путы исторической ограниченности развития философских воззрений. Апории Зенона «Ахиллес» и «Стрела» обнажают глубокую загадку того, как из неподвижности, видимого отсутствия измерений («стрела покоится в каждый момент») рождается движение. Нужны были какие-то особые ходы мысли. Эти ходы нащупывали основоположники атомизма.

Впоследствии Диоген-циник, для опровержения довода Зенона, направленного против существования движения, поднялся и стал ходить. А.С. Пушкин выразил это так:

Движенья нет!

Сказал мудрец брадатый,

Другой смолчал,

Но стал пред ним ходить.

Кризис, вызванный апориями Зенона, был очень глубок; чтобы его хотя бы отчасти преодолеть, требовались какие-то особые, непривычные идеи. Это удалось сделать древним атомистам, наиболее выдающимися среди которых были Левкипп и Демокрит . Анализ апорий Зенона выявил их "болевые" точки: беспредельное деление (отрезка пути тел). Атомисты предположили, что вещество, пространство, время в принципе нельзя делить бесконечно, ибо есть мельчайшие, далее неразделимые их фрагменты - атомы вещества, амеры (атомы пространства), хрононы (атомы времени). То или иное тело состоит из определенного числа атомов, каждый из которых имеет конечный объем, соответственно конечный объем имеет и составленное из атомов тело. Стрела летит, ибо, по определению, движение есть преодоление определенного расстояния, состоящего из определенного числа амеров, за определенное время, которое в свою очередь состоит из определенного числа своих квантов (хрононов). Чтобы раз и навсегда избавиться от затруднений с пониманием изменения, было предположено, что атомы неизменны, обладают как раз теми же абсолютными качествами, что парменидовское бытие, они неделимы и однородны. Атомисты как бы "свели" изменение к неизменному, к атомам.

Апории Зенона опровергали много раз, указывая просто на факты: А догнал В, С летит и т. д. Однако такие "опровержения" аргументации великих философов не многого стоят. Элеаты ведь ставят вопрос действительно по-научному: если есть движение, то его надо осмыслить. Конечно, из непонимания движения, множественности не следует, что их нет вообще. Но и гордиться особенно нечем, если вы не способны понять с научных позиций вроде бы довольно очевидные вещи, механическое движение, всякого рода изменения. Гераклит потому и раздражал элеатов, что он не давал объяснения факту изменения. Разумеется, элеаты не доказали, что нет движения, они показали современникам, что те едва ли понимают содержание движения. Сами элеаты в понимании движения были на подлинной вершине существовавших в их эпоху воззрений. Сейчас же отметим, что современные ученые вновь и вновь обращаются к апориям Зенона, находя в них новые импульсы для развития научной мысли. При этом, разумеется, они модифицируют логику рассуждений элеатов. Давно стало ясно: для понимания апорий элеатов надо обратиться к самым развитым философским, математическим и физическим теориям. Выходит, что элеаты продолжают в некотором роде быть и поныне нашими учителями. Чему они научили и учат нас в первую очередь? Роли и значению логических доказательств, необходимости рассмотрения - наряду с миром событий - умопостигаемого уровня реальности, не поддаваясь "обману воображения". Элеаты поставили проблему соотношения единого и множественного, непрерывного и прерывного, движения и покоя.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://allbest.ru

Апории Зенона и их современная интепретация

Введение. К проблеме апорий в науке

Античная философия всегда отличалась разнообразием идей, а также большим количеством их приверженцев. Всё это выражалось в многообразии учений и, следовательно, школ древних философов. Одной из них была элейская школа. Двадцать четыре столетия назад её приверженец Зенон Элейский указывал на невозможность логически непротиворечивого осмысления движения тел, хотя и не сомневался в чувственно удостоверяемой реальности последнего.

Зеноном сформулирован ряд апорий, связанных с проблемой движения. Но не меньший интерес в гносеологическом (гносеология есть учение о познании) и логическом плане представляют и апории, с которыми столкнулся знаменитый элеец при анализе проблемы «многого в бытии», проблемы получения протяженного отрезка при синтезе так называемых непротяженных точек (метрическая апория), и другие.

Трудности, нашедшие отражение в апориях Зенона, и в наши дни нельзя считать преодоленными. Поэтом у апории Зенона не перестают интересовать и математиков, и физиков, и философов, и ученых некоторых других направлений. Интерес к апориям в настоящее время связан с проблемами научного познания пространства, времени, движения и строения систем в самом широком смысле, а также с проблемами « начал» науки в смысле истории возникновения исходных понятий о природе («тело», «точка», «место», «мера», «число», «множество», «конечное», «бесконечное» и др.) и в плане дискуссий, в ходе которых уточнялся смысл этих понятий и которые, в итоге, переросли в проблему основания математики, а также начал точного естествознания.

1. Зенон Элейский

Зенон, один известнейших древнегреческих философов, родился около 490 года до н.э. в Элее, в связи с чем и стал в последствии называться Элейским. Историки отмечают его приверженность к учениям Парменида и пифагорейцев. Это есть большинство достоверных фактов из его биографии, которые подтверждаются не только учеными нашего времени, но и такими уважаемыми людьми, как Платон в своем «Пармениде».

Будучи представителем Элейской школы философии, Зенон рассуждал о проблемах истинного и мнимого бытия, под коими он подразумевал соответственно мышление и чувства. Сам термин «бытие» был введен в употребление как раз учителем Зенона Парменидом, и обладал такими свойствами как: неподвижность, однородность и единство. Парменид сравнивал бытие с шаром, наполненным каким-либо веществом - завершенным и целостным. И переосмыслив идеи своего учителя, Зенон стал выдвигать свои рассуждения о структуре бытия и утверждать, что в природе не существует движения и множественности, что доказывал своими знаменитыми апориями.

«Из 45 апорий, выдвинутых Зеноном, до нас дошло 9. Классическими являются пять апорий, в которых Зенон анализирует понятия множества и движения» Гайденко П.П., Эволюция понятия науки: становление и развитие первых научных программ, М., «Урсс», 2010 г., с. 65-67. . Апории Зенона не нашли удовлетворительного разрешения и поныне. Причем современные издания, в отличие от советских, с этим соглашаются: «Апории теперь признаются подлинными парадоксами, связанными, в частности, с описанием движения». А.А. Ивин, А.Л. Никифоров «Словарь по логике», М.: «Владос» , 1997, стр. 22. Все так называемые «разрешения» апорий представляют собой логическую ошибку ignorantia elenchi, состоящую в том, что доказывается не тот тезис, который требуется доказать. Исследование парадоксов Зенона начать со знакомства с историей Элейской школы и интерпретации аргументов Зенона, что сразу ведет нас в многообразие связанных с ними проблем и позволит найти собственный путь к разрешению его загадок. Для этого требуется определить направляющие точки зрения, которые основаны на фактах или более убедительных предположениях.

Современная интерпретация зеноновских апорий сводится к двум диаметрально противоположным вещам: либо к доказательству несостоятельности самого Зенона как формального логика, либо к установлению непригодности современного математического анализа, а в частности интегральной системы исчисления, к реальной жизни, к человеческому бытию.

Целью данной работы является рассмотрение этих самых апорий, выявление или невыявление в них нарушений правил формальной логики и сопоставление их с современными жизненными воззрениями ученых.

2. Апории Зенона Элейского

2.1 «Дихотомия»

Один из известнейших доводов Зенона об отсутствии движения гласит: «В конечный промежуток времени нельзя пройти бесконечное число отрезков, что означает невозможность начала самого движения».

Суть данного высказывания состоит в следующем. Если существует некий отрезок А-В, то чтобы попасть из точки А в точку В, нужно сначала добраться до точки С, которая будет серединой отрезка А-В. А чтобы достичь точки С, необходимо сперва попасть в точку D, являющуюся серединой А-С, и так будет продолжаться бесконечно. Из этого следует, что движение не начнется никогда, так как никогда не будет найден конечный пункт даже бесконечно малого смещения.

К данной апории в своих работах обращались многие философы, в том числе Аристотель, Гегель и Ленин, причем они не поддерживали точку зрения Зенона, а наоборот, приводили аргументы в пользу неверности утверждения. Так, Аристотель писал, что «…пространство и время бесконечно делимы в возможности, но не бесконечно разделены в действительности». Гегель, развивая мысль Аристотеля, утверждал, что делимость есть не необходимость, а лишь возможность деления.

2.2 «Ахиллес и черепаха»

На принципах, изложенных в «Дихотомии», базируется и еще одна апория, в которой Зенон рассказывает о том, что, чтобы Ахиллес догнал черепаху, необходимо, чтобы исчезло разделяющее их расстояние, а это невозможно.

Философ объясняет свою мысль тем, что если черепаха и Ахиллес начинают двигаться в одном направлении в одну и ту же секунду, но черепаха находится на каком-то расстоянии впереди, то пока Ахиллес будет преодолевать этот путь, черепаха продвинется на сколько-нибудь вперед, и дистанция будет бесконечно сокращаться, но в итоге между ними всегда будет оставаться не равное нулю расстояние.

Записав уравнения движений Ахиллеса и черепахи, можно выяснить, что в момент их предполагаемой встречи они должны пройти равное количество отрезков пути, а проходят разное: человек преодолевает один «лишний» отрезок. Это, с одной стороны, показывает формальную некорректность зеноновских утверждений, но, при этом, дает современным математикам и философам огромный простор для действий по доказательству или опровержению того, что часть равна целому.

Д. Гильберт и П. Бернайс замечают: «Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться» Д. Гильберт, П. Бернайс «Основания математики. Теория доказательств», 1982 .

Данная апория Зенона не переставала интересовать математиков и философов. Однако вплоть до наших дней существуют самые разнообразные мнения: от совершенно-пренебрежительного отношения до признания того, что она относятся к наиболее важным и трудным вопросам обоснования математики и физики.

Так, известному французскому математику Полю Леви парадокс об Ахиллесе и черепахе представляется очевидной нелепостью.

«Почему воображать себе, - пишет он, - что время остановит свой ход вследствие того, что некий философ занимается перечислением членов сходящегося ряда? Признаюсь, я никогда не понимал, как люди, в других отношениях вполне разумные, могут оказаться смущёнными этим парадоксом, и ответ, который я только что наметил, есть тот самый ответ, который я дал, когда мне было одиннадцать лет, старшему, рассказавшему мне этот парадокс, или, точнее, есть тот самый ответ, который я резюмировал тогда такой немногословной формулой: Этот грек был идиотом» Р. Levy, A propos du paradoxe et de la logique,. «Rev. Meta-phys. Morale», 1957, N 2, p. 130 .

2.3 «Ристалище»

Апория, также основанная на свойствах неделимости пространства и времени. Она заключается в том, что неделимый момент времени может стать делимым относительно себя же. Зенон, чтобы объяснить это, приводил в пример три параллельно расположенных множества из четырех точек. Первое (А) не двигалось, второе (В) двигалось вправо, а третье (С) влево. Получалось, что за одну единицу времени множество В преодолевало расстояние лишь в две точки из множества А, но, в то же время, во все четыре точки множества С. Это означало, что данная единица времени не является неделимой, или, если принять время за константу, только делимым является пространство, в котором движется материя. Также это утверждение предполагало не только некое искривление пространства, но и вывод Зенона о том, что половина представляет собой целое.

Ответом на данную апорию можно признать специальную теорию относительности Эйнштейна, в которой утверждается неабсолютность движения, времени и пространства для тел, находящихся в разных системах отсчета.

2.4 «Стрела»

Этой своей апорией Зенон снова отрицает возможность движения. По его мнению, стрела, летящая с определенной скоростью, в каждый неделимый момент времени занимает место, равное своей собственной длине, а значит, покоится. А временной отрезок как раз есть сумма этих неделимых моментов. Эта апория направлена против суждения о том, что непрерывная величина есть сумма бесконечного числа неделимых частиц.

Здесь философ не разделяет онтологическое и механическое понятие о движении, и потому приходит к такому выводу. Безусловно, с точки зрения той же специальной теории относительности, в системе отсчета, где находится только стрела и ничего больше, она покоится - относительно себя. Поэтому называть данное высказывание Зенона безосновательным нельзя. Но это показывает, что апории являются некоторого рода крайностями в понимании структуры материи.

2.5 Апории, опровергающие существование «многого»

К этим апориям относятся такие утверждения, как «Множественность», «Медимн зерна», «Мера». Они все базируются на том, что «много» - это с одной стороны бесконечное поле для заполнения, а с другой - ограниченное пространство, потому что «больше, чем много» не может быть. Исходя из этого, Зенон отрицал существования «многого» вообще, к тому же разделяя все на бесконечно малые отрезки.

Сюда же можно отнести известную зеноновскую апорию «О месте», которая повествует о том, что если все сущее находится на каком-то одном месте, то это место тоже должно где-то находиться, и так до бесконечности.

2.6 Апория «Стадий» («Стадион»)

Пусть по стадиону движутся по параллельным прямым равные массы с равной скоростью, но в противоположных направлениях. Пусть ряд А1, А2, А3, А4 означает неподвижные массы. Ряд В1, В2, В3, В4 означает массы, движущиеся вправо, а ряд Г1, Г2, Г3, Г4 означает массы, движущиеся влево.

Будем теперь рассматривать массы Аi, Вi, Гi , как неделимые.

В неделимый момент времени Вi и Гi проходят неделимую часть пространства. Действительно, если бы в неделимый момент времени некоторое тело проходило более одной неделимой части пространства, то неделимый момент времени был бы делим, если же меньше, то можно было бы разделить неделимую часть пространства. Рассмотрим теперь движение неделимых Вi и Гi друг относительно друга: за два неделимых момента времени В4 пройдет две неделимые части Аi и одновременно отсчитает четыре неделимых части Гi , то есть неделимый момент окажется делимым.

Этой апории можно придать и несколько другую форму. За одно и то же время t точка В4 проходит половину пути отрезка А1А4 и целый отрезок Г1Г4 . Но каждому неделимому моменту времени отвечает неделимая часть пространства, проходимая за это время. Тогда в некотором отрезке? и 2? содержится «одинаковое» число точек, «одинаковое» в том смысле, что между точками обоих отрезков можно установить взаимно однозначное соответствие. Этим впервые было установлено такое соответствие между точками отрезков различной длины. Если считать, что мера отрезка получается как сумма мер неделимых, то вывод является парадоксальным. Логическая ошибка в основе апории «Стадий» скрывается за неявно выраженным нарушением логических законов построения мыслей. Это нарушение состоит в подспудном признании взаимной относительности движения тел А1 и А2, поскольку в апории все же идет речь о движении тела А1 относительно тела А2(или наоборот), при одновременном явном отрицании этой относительности, так как игнорируется такой параметр этого движения, как скорость реляционного движения, равная сумме модулей скоростей v1 и -v2 движений тел А1 и А2 по отношению к телу А0. В явном виде логически противоречивая структура данной апории может быть представлена формулой х (P(x) ((P(x)), где лишь исключающие друг друга пропозициональные функции означают одновременно признание и отрицание предикатов относительности и реальности реляционного движения тел А1 и А2.

3. Современная интерпретация

Чтобы провести серьёзные исследования зеноновских апорий следует рассматривать не только физическую и математическую модели - философ предполагал как раз эмпирическую, опытную составляющую мира, то есть хотел сказать, что именно в реальной жизни, в отличие от мира чисел, такие, казалось бы, абсурды, возможны. С течением времени движущееся тело одну за одной проходит все точки своей траектории, но для случайно выбранной точки невозможно указать следующую за ней, и это нарушает последовательность.

Д. Гильберт и П. Бернайс по поводу «Ахиллеса» замечают: «Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться».

В апориях Зенона предполагается, что микропространство устроено так же, как и макро, и факты из области движения переносятся на все величины. Между тем, согласно современным физическим взглядам, величины не делимы до бесконечности. Современная физика открывает все новые и новые факты о строении микромира. Чтобы решить парадоксы, необходимо указать на то, что совсем не обязательно верить в то, что пространственно-временное видение движения имеет какое-либо физическое значение для малейших интервалов времени или пространства.

Четырьмя своими главными парадоксами Зенон достигает того, что логически строго показывает, что в пифагорейских воззрениях на движение, пространство и время что-то неверно. Эти демонстрационные примеры Зенона не заставили более поздних мыслителей согласиться с выводами Парменида, однако дали им возможность проникнуться уважением к формальной логике и открыть для себя и мира новые возможности ее применения. Еще они, соответственно, заставили их попытаться сформулировать пифагорейские понятия по-новому, чтобы исключить показанные Зеноном противоречия. Из очевидной нестандартности образа зеноновского мышления можно предположить, что ни с какими доводами современных мудрецов он бы не согласился и смог бы своими новыми апориями доказать свою правоту.

Современными учеными доказано, что апории неверны с математической точки зрения, но при этом им приходится признать, что уже само их существование ставит под сомнение верность всей математической модели мира, когда-то предложенной еще Аристотелем и Пифагором и в большой степени развитой Ньютоном и Декартом.

При этом на основе зеноновских утверждений некоторые и сейчас, с применением последних достижений в математике, доказывают его теории, и даже развивают их. П.В. Полуян в своей работе «Нестандартный анализ неклассического движения» утверждает, что «…у тела в каждое мгновение, в каждой отдельно взятой точке движение есть, а скорости нет» П.В. Полуян «Нестандартный анализ неклассического движения» - У., 2002 . Ему же принадлежит вывод о том, что «…для любых двух моментов времени имеются два местоположения точки в пространстве, чем и задается значение скорости лишь для этих двух моментов. Но при этом любое нахождение точки, соответствующее моменту времени, находящемуся между двумя первоначально выбранными, позволяет найти уже другие, отличные от первоначальных отношения интервалов пути и времени».

Также с помощью зеноновских противоречий, В. Гейзенбергом был сформулирован его «Закон неопределенности», который говорит о невозможности одновременного наличия у материальной точки и импульса (скорости), и координат. Закон неопределенности Гейзенберга послужил одним из постулатов квантовой механики, и использовался в определении «идеальных измерений» Д. фон Неймана и «неидеальных измерений» Л. Ландау.

Зураб Силагадзе в своей статье «Zeno meets modern science» утверждает, что «…парадоксы Зенона затрагивают фундаментальные аспекты реальности -- локализацию, движение, пространство и время. Время от времени обнаруживаются новые и неожиданные грани этих понятий, и каждое столетие находит полезным снова и снова возвращаться к Зенону. Процесс достижения их окончательного разрешения представляется бесконечным, и наше понимание окружающего мира всё ещё неполно и фрагментарно» З. Силагадзе «Zeno meets modern science», 2005 .

Апории Зенона, а, в частности, его «Стрела», стали первоосновой для выдвижения А. Тьюрингом в 1954 году своего парадокса, который впоследствии, после его описания Б. Мизрой и Д. Сударшаном, получил название «квантовый парадокс Зенона». Суть данного парадокса заключается в том, что период распада определенной замкнутой системы напрямую зависит от частоты измерений ее состояния. И возможен вариант, что нестабильная частица может не распасться никогда - в условиях частого наблюдения.

Во многом с помощью зеноновских апорий смог вывести свою теорию И. Кант. Как известно, он выделял три стадии познания: чувственность, рассудок и разум. Разум Кант определял как рассудок, вышедший за пределы опыта и образующий идеи и стремление к абсолютному знанию. И именно в процессе образования идей разум сталкивается с антиномиями - своего рода парадоксами, выход из которых и порождает объект познания. Примерами кантовский антиномий являются противоречия между делимостью и неделимостью мира, конечностью и бесконечностью пространства и времени, существованием необходимости и свободы, и, наконец, существованием необходимого существа - Бога и его отсутствием.

С зеноновскими принципами «от противного» также пересекается объективный идеализм Г. Гегеля, точнее, «закон противоречий» и «закон отрицания отрицания», заложенные в идею тройственности любого цикла событий.

Заключение

апория зенон парадокс философия

Итак, разобрав внешне, казалось бы, нелогичные в первом приближении утверждения Зенона Элейского, можно сделать вывод о том, что его апории явились одной из величайших работ в истории человечества, потому что на протяжении уже почти двадцати пяти веков они подвергаются критике со стороны науки и сами ставят верность науки под угрозу. Также, апории дали толчок к появлению таких философских направлений, как античный атомизм; послужили катализатором для развития математического анализа и теории множеств.

Апориям посвящали стихи А.С. Пушкин и Поль Валери, их упоминал в «Войне и мире» Л.Н. Толстой, ими апеллирует Х.Л. Борхес и многие другие деятели искусства, рассказывая и бесконечности, целостности и неделимости.

Одно из самых известных изречений Зенона: «Можно ли мыслить движение, если допускается разделение пространства?» говорит о том, что философ не просто размышлял над этой проблемой, он искренне верил в нее, хотя и известно, что движения как такового он не отрицал.

Безусловно, вклад Зенона в развитие человеческой мысли велик, и это может проиллюстрировать уже даже тот факт, что созданные до нашей эры утверждения не могут быть окончательно подтверждены или опровергнуты современными математиками с намного более развитыми технологиями счета и кругозором.

Список использованной литературы

Л.А. Халфин «Квантовый эффект Зенона» - Успехи физических наук, 1990, том 160, выпуск 10

В.Я. Комарова «Учение Зенона Элейского» - Л., 1988

Д. Гильберт, П. Бернайс «Основания математики. Теория доказательств», 1982

Г. Вейль «О философии математики» - М.-Л., 1934

Гайденко П. П. «Эволюция понятия науки» - М.: Наука, 1980

Манеев А. К. «Философский анализ зеноновских апорий» - Минск, 1972

П.В. Полуян «Нестандартный анализ неклассического движения» - У., 2002

З. Силагадзе «Zeno meets modern science», 2005

Д.Я. Строик, Краткий очерк истории математики, М., «Наука», 1964г., с.53.

Гайденко П.П., Эволюция понятия науки: становление и развитие первых научных программ, М., «Урсс», 2010 г., с. 65-67.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Понятие единого Бога и умопостигаемого сущего в философии Ксенофана, Парменида. Апория как понятие, означающее в древнегреческой философии трудноразрешимую проблему. Метод доказательства. Феномен популярности апорий Зенона. Отрицание пустоты как небытия.

курсовая работа , добавлен 06.07.2011

Происхождение и своеобразие античной философии. Космоцентризм древнегреческой философии. Корни греческого чуда. Анализ деятельности Фалеса Милетского. Гераклит из Эфеса как выдающийся материалист и диалектик. Апории и рассуждения Зенона Элейского.

презентация , добавлен 23.02.2014

Античная диалектика как форма мысли. Диалектика Платона, Гегеля и Маркса. Противоположность диалектического и эклектического в процессе познания. Апории Зенона, их роль в развитии античной диалектики, логики. Проблемы непрерывности и бесконечности.

контрольная работа , добавлен 21.01.2012

Возникновение софизмов в Древней Греции. Дискуссия между софистами и Сократом о существовании объективной истины. Основные виды софизмов. Отличия софизмов и логических парадоксов. Парадокс "деревенского парикмахера". Апории - отдельная группа парадоксов.

контрольная работа , добавлен 26.08.2015

Динамический аргумент, законы развития, функционирования, динамические и статистические. Эклектика - направление в античной философии. Отличие софизма от паралогизма и апории. Релятивизм - методологический принцип, его гносеологические корни и элементы.

контрольная работа , добавлен 08.02.2011

Понятие софизма и его историческое происхождение. Софизмы как лишенная смысла и цели игра с языком. Обогащение языка с помощью логических приемов. Примеры софизмов как интеллектуальных уловок и подвохов. Понятие логического парадокса и апории, их примеры.

реферат , добавлен 15.10.2014

Проблема первоначала с точки зрения древнегреческих философов Фалеса, Анаксимандра, Анаксимена. Мир как вечное становление и иллюзорность изменчивости в теории Гераклита. Сущность парадоксов Зенона: апория места, апория множества, апория движения.

презентация , добавлен 20.06.2015

Особенности и специфика категориального аппарата философии древних стран - Китая, Индии, Греции и Рима. Философские проблемы и основные представления о предмете философии в античности. Учение Аристотеля, Платона, Сократа, Демокрита, Парменид, Зенона.

реферат , добавлен 24.10.2012

Основные этапы развития античной философии. Космоцентризм, философия Гераклита и Зенона Элейского, пифагорейский союз. Атомистическая философия и цели софистов. Сократ и учение Платона, скептицизм Пиррона и неоплатонизм. Философия Аристотеля и Эпикура.

контрольная работа , добавлен 25.12.2010

Основные пути возникновения логических парадоксов, их историческое развитие и положительное влияние на развитие логики и философии. Типы парадоксов, их классификация. Конкретные примеры: парадокс "Лжец", парадоксы Рассела, Кантора, Ришара и другие теории.